Figure sans paroles #4.12.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.12.6

    le 31 janvier à 15:06, par Hébu

    Sur les côtés $AB$ et $AC$ d’un triangle (et à l’extérieur), on trace deux triangles rectangles $ABJ$ et $ACK$, tels que les angles en $B$ et $C$ soient égaux.

    Soit $M$ me milieu de $BC$. Alors, les segments $MJ$ et $MK$ ont même longueur.

    .

    Faute d’idée, après 3 jours d’unterrogation, une solution, le calcul tout bête des longueurs des segments. $MJ$ sera évalué dans le triangle $BJM$ et $MK$ dans $CKM$. A chaque fois, utilisation de la << loi des cosinus >>.

    On note $u$ la valeur commune des angles $JBA$ et $KCA$. On note $a, b, c$ les côtés $BC, AC$ et $AB$, et $A, B, C$ les angles (en essayant de ne pas se mélanger entre manuscules et mijuscules).

    $BJ$ et $CK$ sont donnés par $BJ=c.\cos{u}$, $CK=b.\cos{u}$. $BM=CM=a/2$. L’utilisation de la loi des cosinus impose le développement de $\cos{u+C}$ et $\cos{u+B}$. Le calcul demande de faire appel à $a/\sin{A}=b/\sin{B}=c/\sin{C}$, et à un autre résultat :

    Soient $CD$ et $BF$ les hauteurs issues de $C$ et $B$. L’angle en $A$ permet d’écrire $AD/AC=AF/AB$ (le sinus de $A$), soit $AD\times AB=AF\times AC$, ou encore $c(c-a.\cos{B})=b(b-a.\cos{C})$.

    .
    Au bout du compte, on arrive par ce biais à montrer l’égalité des longueurs. Rien de glorieux, Euclide doit se retourner dans sa tombe. Il existe sûrement une preuve plus directe et plus élégante...

    Document joint : idm4-12-6.jpg
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