Figure sans paroles #4.12.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.12.7

    le 12 février à 11:31, par Hébu

    ABC un triangle sur lequel on construit ABD et ACE, rectangles en B et E et tels que les angles DAB et EAC soient égaux (=u). Soit AH la perpendiculaire abaissée de A sur BC.

    Alors, CD, BE et AH sont concourants.

    .

    Depuis D et E on abaisse les perpendiculaires DJ et EK sur BC.

    On remarque que les triangles JDB et HBA sont semblables, de même que KCE et HAC.
    Dans les deux cas, le rapport de similitude est le même, CE/CA=BD/BA — on le note k, c’est la tangente de l’angle u.

    .

    Donc JB = k.AH, et CK = k. AH — soit JB=CK.

    .
    Soit P l’intersection de CD et AH ; soit P’ l’intersection de BE avec AH.

    .
    PH/CH=DJ/JC, soit PH=CH.DJ/JC. A cause de la similitude mentionnée ci-dessus, DJ=k.BH et PH=k.BH.CH/JC (1)

    .
    Même argument côté C, et ainsi P’H/BH=KE/BK, soit encore P’H=k.CH.BH/BK (2)

    .
    Mais, puisque JB et CK ont même longueur, alors BK et JC ont eux aussi même longueur, de sorte que (1)=(2), soit PH=P’H — P et P’ sont confondus.

    Document joint : idm4-12-7.jpg
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