Figure sans paroles #4.12.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.12.8

    le 11 février à 18:56, par Hébu

    Un triangle $ABC$, les médianes $BE$ et $CF$, se coupant en $L$. Un point $D$ sur $BC$, par lequel on mène une parallèle à $CF$ qui coupe $AB$ en $J$ et $BE$ en $P$, et une parallèle à $BE$, coupant $AC$ en $K$ et $CF$ en $M$

    On trace le segment $JK$, qui va couper $BE$ en $N$ et $CF$ en $Q$.

    Les trois segments $JN$, $NQ$ et $QK$ ont même longueur.

    .
    Les parallèles ($BE//DK$, $CF//DJ$) font que les triangles $MQK$, $LQN$ et $PJN$
    sont semblables (côtés sur des supports identiques ou parallèles).

    Le théorème de Thalès (ou bien une homothétie judicieuse) montre que
    $MD/MK=2$, $PD/PJ=2$. Qu’on réécrit $DJ=3.PJ$, $DK=3.MK$ (ce sont des égalités de longueurs, il faudrait ajouter les barres !)

    .

    $DPLM$ est un parallélogramme, $DP=LM$ (=$2.PJ$), $MD=LP$(=$2.MK$).

    .

    De plus on a $MK/MQ=DK/DJ$. Cela se ré-écrit $MK/MQ=DK/DJ=(3.MK)/(3.PJ)$, ce qui implique $PJ=MQ$

    .
    Mais alors $PJ=LQ=MQ$, les trois triangles semblables ont un côté de même longueur, ils sont égaux (isométriques) et $JN=NQ=QK$

    .
    Contraste avec les deux figures précédentes (4.12.6 et 4.12.7), je me pose la question — où est l’erreur ?

    Document joint : idm4-12-8.jpg
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