Figure sans paroles #4.12.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.12.9

    le 18 février 2019 à 18:17, par Hébu

    Deux triangles $ABC$ et $DEF$, semblables (angles en $A$ et $F$ égaux ; en $B$ et $D$ égaux ; en $C$ et $E$ de même — je les ai nommés en vrac)

    .
    On joint les sommets homologues ($A-F$, $B-D$, $C-E$), et on prend les milieux de ces segments ($G, H, J$, dans l’ordre).

    .
    Alors le triangle $GHJ$ est semblable aux deux premiers.

    .
    On peut remarquer les égalités vectorielles :

    $ \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{EF}=2.\overrightarrow{JH}$,

    $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}=2.\overrightarrow{JH}$

    $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DF}=2.\overrightarrow{HG}$

    (il suffit d’écrire la relation de Chasles)

    .
    On peut construire deux triangles :
    .

    • du point C, deux segments $CF'$ et $CG'$ parallèles et de même longueur que $EF$ et $JG$. Angle $\widehat{ACF'}=w$, le segment $CG'$ est la médiane de $AF'$ (puisque CA+EF=2.JG).
    • du point C encore, segments $CD'$ et $CH'.$ L’angle$\widehat{ BCD' }$est encore $w$, et CH’ est la médiane de BD’

    .
    Les deux triangles sont semblables, puisque les triangles $CBA$ et $EDF$ le sont.
    Cela implique que l’angle (JH, ED) est égal à l’angle (JG, EF).

    .
    Donc l’angle $\widehat{ HJG}$ est égal à $\widehat{ DEF}$ ou $\widehat{ BCA}$ .

    .
    Même traitement pour les autres angles.

    .
    Peut-être existe-t-il d’autres façons d’aborder cette figure. Notamment, on voit bien la présence des transformations (on déduit le triangle $DEF$ de $ABC$, via une translation, une rotation, une homothétie). Peut-on en tirer quelque chose ?

    Document joint : idm4-12-9.jpg
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