Figure sans paroles #4.12.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • 4.12.9

    le 20 février 2019 à 18:14, par Hébu

    Je tente ici de compléter, dans le cas de segments divisés dans un rapport quelconque.

    Soit donc la même figure, cette fois-ci les points $G, H, J$ divisent les segments dans une même proportion. On écrira $\overrightarrow{HB}=k.\overrightarrow{HG}$, $\overrightarrow{GA}=k.\overrightarrow{GF}$ et $\overrightarrow{JC}=k.\overrightarrow{JE}$ (initialement on avait $k=-1$).

    .
    Première étape, utilisation de la relation de Chasles.

    On écrit comme précédemment
    $\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{JG}$, $\overrightarrow{JE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{JG}$, on multiplie la seconde par $-k$ et on somme. Il vient
    \[ \overrightarrow{JG}=\frac{1}{1-k}(\overrightarrow{CA}-k.\overrightarrow{EF}) \]
    soit $\overrightarrow{JG}=u.\overrightarrow{CA}+(1-u)\overrightarrow{EF}$ avec $u=1/(1-k)$ (on avait $u=1/2$).
    On trouve les mêmes relations pour les vecteurs $\overrightarrow{JH}$ et $\overrightarrow{HG}$

    .
    Ensuite on construit nos deux triangles, comme dans la preuve initiale. Les propriétés des barycentres font que le segment $CG'$ qu’on construit maintenant n’est plus la médiane de $AF'$, mais ce point reste sur la droite $AF'$.

    Et les deux triangles qu’on a construits restent semblables, la fin de l’argumentation reste donc valide.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Ressources pédagogiques