Figure sans paroles #4.12.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.12.9

    le 21 février 2019 à 10:29, par Sidonie

    Je vous propose une méthode différente.

    Je pars d’un quadrilatère quelconque non croisé ABCD. Sur AD et BC je porte E et F tels que AE/AD=BF/BC=k. Le but est de montrer que EF/AB ne dépend que de k, du rapport DC/AB et de l’angle (AB,CD).

    Je trace la diagonale BD, la parallèle à AB en E la coupe en G et (merci Thalès) GF // CD.

    En longueur EG=kAB et GF=(1-k)CD.

    Il suffit alors d’utiliser le théorème d’Al Kashi dans le triangle EGF :

    EF²=EG²+GF²-2EGxGFcos(GE,GF)=k²AB²+(1-k)²CD²-2k(1-k)ABxCDcos(BA,CD) puis on divise par AB² pour arriver au résultat escompté.

    Dans la figure nous avons 3 quadrilatères dans lesquels glissent les cotés de MNL dans un même rapport k. La similitude entre les triangles ABC et DEF assure que les rapports entre les côtés ne servant pas de glissières ainsi que les angles qu’il font entre eux sont les même dans les 3 quadrilatères il en donc de même pour les rapports entre les côtés de MNL et ceux de ABC.

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