Figure sans paroles #4.3.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.4

    le 15 février à 15:22, par Hébu

    On ne sait trop que faire, en l’absence des habituels pointillés ! Je suppose qu’il s’agit de montrer l’égalité des deux segments que je notr $AP$ et $DP$. Ce qui est assez simple.

    .
    Un triangle $ABC$, et $AD$ la bissectrice de l’angle en $A$. Depuis $A$ on mène la tangente au cercle circonscrit. Elle coupe $BC$ en un point $P$.

    Il faut établir que $AP$ et $DP$ ont même longueur.

    .
    On va calculer les angles $\widehat{DAP}$ et $\widehat{ADP}$. S’ils sont égaux, le tour est joué.

    Pour $\widehat{ADP}$ : dans le triangle $ADC$, on a $\widehat{ADP}=\pi-\widehat{C}-\widehat{A}/2$.

    Pour $\widehat{DAP}$ : on trace $OA$ — $O$ le centre du cercle circonscrit, $OA$ est le rayon au point de tangence et donc $\widehat{OAP}=\pi/2$. Quant à $\widehat{OAB}$, c’est classique $\widehat{AOB}=2\times \widehat{C}$ , de sorte que $\widehat{OAB}=\pi/2-\widehat{C}$.

    Reste donc $\widehat{DAP}=\widehat{OAP}-\widehat{OAD}=\widehat{OAP}-\widehat{BAD}+\widehat{BAO}$, soit $\widehat{DAP}=\pi/2-\widehat{A}/2+\pi/2-\widehat{C}=\pi-\widehat{C}-\widehat{A}/2$.

    On a donc bien $\widehat{DAP}=\widehat{ADP}$, le triangle $PAD$ est isocèle et $PA=PD$.

    Document joint : idm4-3-4.jpg
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    • 4.3.4

      le 8 mars à 23:39, par Sidonie

      Et plus simplement $\widehat{DBA}=\widehat{CAP}$ en tant qu’angles inscrits interceptant le même arc.

      En tant qu’angle extérieur au triangle DBA : $\widehat {PDA}$ = $\widehat {DBA}$ + $\widehat {BAD}$ = $\widehat {CAP}$ + $\widehat {CAP}$ = $\widehat {PAD}$.

      Et si le triangle est isocèle il suffit d’enlever les angles inscrits pour démontrer la bissectrice.

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      • 4.3.4

        le 9 mars à 11:55, par Hébu

        Effectivement, c’est beaucoup plus rapide !

        Bien joué !

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