Figure sans paroles #4.4.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.4.6

    le 3 avril 2020 à 13:36, par Sidonie

    Triangle ABC. T point d’intersection des tangentes en B et C au cercle circonscrit. M un point de (AT) tel que (BM,BA) = (AT,AC). Il faut démontrer qu’alors (CA,CM) = (AB,AT)

    Je commence par énoncer un résultat sur les quadrilatères circonscriptibles que Hébu, s’il passe par ici, pourra ajouter à leur bestiaire. Si le quadrilatère complet PTRSUQ est tel que PRQU est un QCI avec ABDC points de tangences alors (AT) passe par D et elle est symédiane commune de ABC et de DBC, mais aussi (BS) passe par C et elle est symédiane commune de BAD et CAD.(tout ceci démontré dans les figures précédentes)

    Soit G le point d’intersection des diagonales RU et PQ, on sait que les droites joignant les points de tangences passent aussi par G. Donc (AT) et (BS) se coupent en G.

    A l’aide du cercle on a : (BD,BC) = (AD,AC) = (BM,BA) et comme (BC) est la symédiane de ABD alors (BM) est la médiane et donc M est le milieu de [AD] .

    Dans le triangle ACD (CM) est la médiane et (CB) la symédiane donc (CA,CM) = (CB,CD) et dans le cercle (CB,CD) = (AB,AT)

    Document joint : fsp_4.4.6.jpg
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    • 4.4.6

      le 16 août 2020 à 18:31, par Hébu

      Eh oui, je passe par là. Et je propose une approche toute différente, basée sur des calculs d’angles (j’ai fait l’effort de prendre des angles orientés — j’espère les avoir utilisés correctement).

      Seul petit souci j’ai noté D le point que vous nommâtes M. Mais je n’ai pas le courage de changer tout...

      .
      Je vais noter $v$ l’angle $(AT,AC)$. Alors, $(AB,AT)=a-v$.

      Les points $B, C, T, O$ sont cocycliques ($O$, centre du cercle circonscrit), à cause des angles droits en $B$ et $C$.

      Je prends le point $D$, comme intersection de $AT$ avec la droite issue de $B$.
      Dans le triangle $BED$, on a $(BE,BD)=(BE,BC)+(BC,BA)+BA,BD)=b$ ($(BE,BC)=(AE,AC)$, angles inscrits). On a $(EA,EB)=(CA,CB)=c$, d’où on tire $(DB,DT)=a$ (1).

      .
      Dans le triangle $BTC$, isocèle, on a $(CB,CT)=a$ (puisque $(TC,TB)=2a$) (2).

      Rapprochant (1) et (2) on voit que $D$ est sur le cercle passant par $B, C, T$.

      .
      Le même calcul avec $D'$, intersection de la droite issue de $C$, donne le même résultat. Les deux point sont intersections de $AT$ avec le cercle, ils sont donc confondus.

      .

      Ceci étant, je regarde ce résultat sur les quadrilatères.

      .

      Document joint : idm4-4-6.jpg
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      • 4.4.6

        le 18 août 2020 à 23:42, par Sidonie

        Démonstration efficace avec toutefois une petite erreur de manipulation des angles orientés. Vous avez posé a = (AB,AC) donc (OB,OC) = 2a et dans le deuxième cercle (TB,TC) = 2a. Je vous accorde que travailler avec ce type d’angles demande beaucoup de précautions, il m’arrive régulièrement de me perdre et de tout reprendre mais l’utilisation de Chasles en vaut la peine.

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        • 4.4.6

          le 19 août 2020 à 12:58, par Hébu

          Comme je l’ai écrit sur un commentaire du 4.4.3, j’ai beaucoup de misère, avec ces angles ! J’essaie de les utiliser, mais des progrès restent à accomplir, comme on dira pudiquement

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