Figure sans paroles #4.4.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.4.6

    le 3 avril à 13:36, par Sidonie

    Triangle ABC. T point d’intersection des tangentes en B et C au cercle circonscrit. M un point de (AT) tel que (BM,BA) = (AT,AC). Il faut démontrer qu’alors (CA,CM) = (AB,AT)

    Je commence par énoncer un résultat sur les quadrilatères circonscriptibles que Hébu, s’il passe par ici, pourra ajouter à leur bestiaire. Si le quadrilatère complet PTRSUQ est tel que PRQU est un QCI avec ABDC points de tangences alors (AT) passe par D et elle est symédiane commune de ABC et de DBC, mais aussi (BS) passe par C et elle est symédiane commune de BAD et CAD.(tout ceci démontré dans les figures précédentes)

    Soit G le point d’intersection des diagonales RU et PQ, on sait que les droites joignant les points de tangences passent aussi par G. Donc (AT) et (BS) se coupent en G.

    A l’aide du cercle on a : (BD,BC) = (AD,AC) = (BM,BA) et comme (BC) est la symédiane de ABD alors (BM) est la médiane et donc M est le milieu de [AD] .

    Dans le triangle ACD (CM) est la médiane et (CB) la symédiane donc (CA,CM) = (CB,CD) et dans le cercle (CB,CD) = (AB,AT)

    Document joint : fsp_4.4.6.jpg
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