Figure sans paroles #4.4.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.4.7

    le 3 avril à 11:31, par Sidonie

    D et E sont les milieux des côtés issus de A du triangle ABC. F est le milieu de [DE]. (AH) est une hauteur. Les cercles BDH et CEH se recoupent en G.

    Il s’agit de démontrer la cocyclité de A,D,G et E et l’alignement de F,G,H.

    Dans le cercle BDH : (GD,GH) = (BD,BH) = (AD,BC)
    Dans le cercle CEH : (GH,GE) = (CH,CE) = (BC,AE)

    En additionnant membre à membre (GD,GE) = (AD,AE) qui prouve la cocyclité.

    I et J(non tracé) sont les projections orthogonales de D et E sur(BC). Donc (DI)//(AH) et I est le milieu de [BH] ce qui fait de (DI) la médiatrice de [BC] et donc un diamètre du cercle BDH. (DI) est perpendiculaire à (DE) puisque (DE)//(BC) ce qui fait de (DE) une tangente aux 2 cercles (la même démonstration pour J).

    FD = FE donc F est sur l’axe radical des 2 cercles c’est à dire la droite (GH).

    Document joint : fsp_4.4.7.jpg
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