Figure sans paroles #4.5.11

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.5.11

    le 28 mars à 18:51, par Sidonie

    E,F et G sont les points de tangences avec [AB], [BC] et [AC] du cercle exinscrit au triangle ABC, opposé à A.
    H et J sont les points de tangences avec [AB] et [AC] des 2 autres cercles exinscrits. (BC) et (HJ) se coupent en K .

    Il s’agit de prouver l’alignement E, G et K.

    Les droites (AF), (BJ) et (CH) sont concourantes au point de Nagel. Il est donc point d’intersection de 2 diagonales du quadrilatère complet ABCKJH , les droites (AB), (AF), (AC) et (AK) forment un faisceau harmonique et les points B,C et F,K sont dans un rapport harmonique qu’on peut écrire sous forme multiplicative FB.KC = FC.KB

    Les bras de tangentes des cercles exinscrit sont symétriques de leurs confrères du cercle inscrit par rapport aux milieux des côtés d’où :
    AH = CF = CG, AJ = BF = BE, BH = CJ et bien sûr AE = AG

    J’utilise la condition d’alignement dans un triangle ace = bdf

    AE.BK.CG - AG.BE.CK = AE( BK.CF - BF.CK) = 0

    Donc AE.BK.CG = AG.BE.CK et les ponts E, G et K sont alignés.

    Document joint : fsp_4.5.11.jpg
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