Commentaire sur l'article

• 4.5.17

  le 4 mai 2016 à 12:37, par benlemlih

  dans cette figure, la question qui se pose : comment le point d’intersection des trois droites est construit ?
  réponse : c’est à partir du tete du triangle à gauche

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• 4.5.17

  le 11 décembre 2022 à 09:17, par Reine

  Avant de commenter cette figure, revenons sur la Figure sans Paroles 4.5.16, reprise sur le dessin joint. On y voit un triangle $ABC$, dont le cercle inscrit $I$ touche le côté $BC$ en $A_1$ ; un autre cercle passe par $B$ et $C$ et est tangent à $I$ en un point $T$. Il est démontré sous la Figure 4.5.16 que le milieu $A_2$ de la hauteur issue de $A$ est aligné avec $A_1$ et $T$.

  Appelons $\alpha$ le point où la tangente en $T$ aux deux cercles rencontre $BC$. Ayant même puissance $\alpha T^2$ par rapport aux cercles $I$ et $TBC$, et même puissance $\,\overline{\!\alpha B\!}\,\>\,\overline{\!\alpha C\!}\,$ par rapport au cercle $TBC$ et au cercle circonscrit à $ABC$, il se trouve sur l’axe radical des cercles $I$ et $ABC$. Le pôle par rapport à $I$ de cet axe radical est donc sur la polaire de $\alpha$, qui n’est autre que $A_1T$, c’est-à-dire $A_1A_2$. Ainsi, la droite $\,A_1A_2$ passe par le pôle par rapport à $\,I$ de l’axe radical des cercles inscrit et circonscrit.

  En permutant les rôles des sommets $A$, $B$ et $C$, on voit que les analogues $\,B_1B_2$ et $\,C_1C_2$ de la droite $\,A_1A_2$ passent eux aussi par le pôle par rapport à $\,I$ de cet axe radical.

  C’est ce qu’illustre la Figure sans Paroles 4.5.17 ci-dessus, où figurent en pointillés les trois droites concourantes $A_1A_2$, $B_1B_2$ et $C_1C_2$. Et l’argument qui précède fournit en prime une quatrième droite passant par leur point commun : celle qui joint les centres des cercles inscrit et circonscrit.

  Document joint : figure-4-5-17.pdf
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