Figure sans paroles #4.5.37

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.5.37

    le 19 décembre 2020 à 15:51, par Hébu

    On considère un triangle $ABC$, son cercle circonscrit, son cercle inscrit, de centre $D$. Les points $E$ et $F$ sont les milieux des arcs $AB$ et $AC$. Depuis ces points on trace les cercles, tangents aux côtés $AB$ et $AC$.

    On trace les tangentes communes aux cercles $(E)$ et $(F)$.

    Il s’agit de montrer que la première passe par $D$, et est parallèle à $(BC)$. Et que la seconde est tangente en $A$ au cercle circonscrit.

    .
    Puisque $E$ et $F$ sont les milieux des arcs, alors $BF$ et $CE$ sont les bissectrices des angles en $B$ et $C$ du triangle.

    Je note $(d)$ la parallèle à $(BC)$ passant par $D$ et $(d')$ la tangente en $A$ au cercle circonscrit. Je note $K,M,N$ les projetés orthogonaux de $F$ sur $(AC),(d')$ et $(d)$. $K$ est le milieu de $AC$ ($FK$ est la médiatrice de $AC$).

    Les triangles rectangles $AKF$ et $AMF$ sont égaux (même angle en $A$, égal à $B/2$). Et donc les segments $FM$ et $FK$ ont même longueur.

    .
    Le point $F$ est centre d’un cercle passant par $A$ et $C$. $(FC,FA)=(BC,BA)=b$ (puisque les points sont cocycliques) - $a,b,c$ désignent les valeurs des angles aux sommets.
    Dans le triangle $DAC$, on a $(DC,DA)=(a+c)/2=(\pi-b)/2$, de sorte que le point $D$ est sur le cercle de centre $F$ passant par $A$ et $C$, et donc $DF=DA=DC$.

    Puisque $(DN,DF)=b/2$, alors les triangles $DNF$ et $AKF$ sont égaux, et on a finalement $FK=FM=FN$, ce qui fait de $(d)$ et $(d')$ les tangentes en $M$ et $N$.

    Le même traitement mené du point $E$ montre que $d$ et $d'$ sont tangentes au cercle de centre $E$

    Document joint : idm4-5-37.jpg
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