Figure sans paroles #4.5.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 4.5.7

    le 19 de mayo à 11:24, par Sidonie

    I est le centre du cercle inscrit dans ABC. D,E,F sont les points de tangences. J est le centre du cercle exinscrit opposé à A. G,H,K sont les points de tangences. L (resp M) est le projeté orthogonal de D (resp G) sur (EF) (resp (HK). (AM) $\cap$ (EF) = N
    Il faut démontrer que $\widehat {LAI}$ = $\widehat {IAN}$ .
    $\widehat {ACB}$ angle extérieur au triangle isocèle CGK vaut 2 fois l’angle à la base $\widehat {CKG}$ et (CI) étant bissectrice $\widehat {CKG}$ =$\widehat {ACI}$ et donc (GK)//(CI).
    On aura de même(GH)//(BI) qui donne $\widehat {HGK}$ =$\widehat {BIC}$ .
    Dans le cercle GHK :$\widehat {GHK}$ =$\widehat {GKC}$ et donc $\widehat {GHK}$ =$\widehat {BCI}$
    Les triangles BIC et KGH ont 2 angles égaux : ils sont semblables. D et M sont pieds de hauteurs issues de sommets correspondants donc $\overline {KM}/\overline{KH}$ = $\overline {BD}/\overline{BC}$.
    De la même façon on démontre la similitude de DEF et JBC puis $\overline {FL}/\overline{FE}$=$\overline {CG}/\overline{CB}$.
    L’égalité $\overline {BD}=-\overline{CG}$ donne $\overline {KM}/\overline{KH}$ =$\overline {FL}/\overline{FE}$
    (EF)//(HK) donc $\overline {KM}/\overline{KH}$= $\overline {EN}/\overline{EF}$ et pour finir $\overline {EN}=-\overline{FL}$ . E et F étant symétriques par rapport à (AI) il en est de même pour L et N et on a bien $\widehat {LAI}$ = $\widehat {IAN}$ .

    Document joint : fsp_4.5.7.jpg
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