Figure sans paroles #4.5.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.5.8

    le 31 mai à 18:40, par Sidonie

    Dans le triangle ABC,D et E sont les centres des cercles exinscrits opposés à C et D. F,G,H et I,J,K sont les points de tangences avec (AB), (AC) et (BC). (HG)$\cap$(KJ) = L. (IK)$\cap$(FH) = L.
    Il faut démontrer l’alignement D, L, A, N et E.
    M et O sont les milieux de [BC] et [AB].
    D et E sont sur la bissectrice extérieure en A donc D, A et E sont alignés et (AB,AD) = $\frac {(AC,AB)} {2}$
    Les bras de tangentes BO et CJ des cercles exinscrits sont égaux, puisque égaux aux bras de tangentes issues de A au cercle inscrit. Donc HB = CK et M est le milieu de [HK].
    On a déjà vu (figures précédentes) que (KJ)//(CD) et (HF)//(BE) or (CD) et (BE) sont les médiatrices de [GH] et [IK] donc HLK et HNK sont des triangles rectangles et le cercle de centre M passant par H passe aussi par K, L et N. Son rayon est R = MK = MC + CK = $\frac {BC} {2}$ + $\frac {AB +AC - BC} {2}$ = $\frac {AB + AC} {2}$.
    Le triangle isocèle MLK est semblable au triangle CJK donc (ML)//(AC) et comme M est le milieu de [BC] ,(ML) passe par O.
    On considère le cercle de centre O et de diamètre AB. Son rayon est r =$\frac {AB} {2}$.
    La distance entre les centre est d = MO = $\frac {AC} {2}$ donc R = r + d.
    Les deux cercles sont donc tangents et le point de tangence est sur le diamètre commun (MO), c’est à dire L qui appartient donc au cercle de centre O.
    Le triangle OAL est isocèle donc (AL,AO) = $\frac {(OL,OA)} {2}$ = $\frac {(AC,AB)} {2}$ à cause du parallélisme (OL)//(AC).
    Il vient (AL,AB) = (AD,AB) et donc A, L et D sont alignés. La même démonstration en N donnera l’alignement complet.

    Document joint : fsp_4.5.8.jpg
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