Figure sans paroles #4.6.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.6.6

    le 21 juillet à 16:10, par Hébu

    Un triangle $ABC$, le cercle circonscrit de centre $O$, et le cercle inscrit tangent au côté $BC$ au point $D$, au côté $AB$ en $E$ et $AC$ en $F$. La droite $(EF)$ coupe $(BC)$ en $K$.

    On note $M$ le milieu de $DK$. Depuis $M$ on mène une tangente $MN$ au cercle circonscrit.

    Alors les segments $MN, MD, MK$ ont même longueur.

    .
    Les segments $AD, BE, CF$, qui joignent les somments aux points de tangence du cercle inscrit, se coupent en un point $G$, le point de Gergonne (la figure 2.4 nous l’a fait découvrir).

    On peut alors voir $BFEC$, complété par $A$ et $K$, comme un quadrilatère complet. On sait que
    les droites $(AB), (AD), (AC), (AK)$ y forment un faisceau harmonique, de sorte que les points $B,D,C,K$ forment une division harmonique ($\overline{DB}/\overline{DC}=-\overline{KB}/\overline{KC}$).

    La forme << à la Newton >> de cette relation s’écrit $\overline{MD}^2=\overline{MC}\times \overline{MB}$. De plus, la puissance de$M$ par rapport au cercle circonscrit s’écrit (puisque $MN$ est la tangente) $\overline{MC}\times \overline{MB}=\overline{MN}^2$.

    On en déduit que $MN$ et $MD$ ont même longueur.

    Document joint : idm4-6-6.jpg
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