Figure sans paroles #4.8.15

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.8.15

    le 2 juillet à 14:12, par Hébu

    Un triangle $ABC$, inscrit dans un cercle. Un point $G$ sur $(BC)$, placé de sorte que $(AG)$ tangente le cercle en $A$. $D, E, F$ les milieux des côtés $AB, BC, AC$. Un cercle $(c_1)$ passe par les points $D, E$ et $F$, et on mène depuis $G$ les tangentes $GJ$ et $GK$ à ce cercle.

    Alors, les points $A, J, K$ sont alignés.

    .
    Le cercle est le célèbre cercle d’Euler. Il passe aussi par les pieds des hauteurs et les milieux des segments reliant les sommets à l’orthocentre (entre autres).

    On trace les hauteurs, $AI$ la hauteur issue de $A$ et $H$ l’orthocentre. On note $L$ le milieu de $AH$ ; on sait que le cercle d’Euler passe par les milieux des segments $AH, BH, CH$.

    l’un des résultats préliminaires à l’étude du cercle d’Euler est que $\overrightarrow{AH}=2 \overrightarrow{OE}$, ce qui signifie ici que $OE$ et $AL$ sont parallèles et de même longueur : $ALEO$ est un parallélogramme, $AO$ et $EL$ sont parallèles, et perpendiculaires à $AG$.

    $EL$, qui est un diamètre du cercle d’Euler, coupe $AG$ en $N$ et $\widehat{PNG}=\pi/2$.

    1/ Un cercle $(c_2)$ de diamètre $GP$ passe par $J, K, N$ (angles droits).

    2/ $GL$ est le diamètre d’un cercle $(G, N, L, I)$ : cercle $(c_3)$.

    3/ $JK$ est l’axe radical de $(c_1,c_2)$. $GA$ est l’axe radical de $(c_2,c_3)$. $AI$ est l’axe radical de $(c_2,c_3)$. $A$ est donc le centre radical des trois cercles, et $A,J,K$ sont donc alignés.

    .
    Remarque, en passant : on retrouve $ALEO$, la parallélogramme rencontré notamment aux 5.6.1, 5.6.15 (l’angle droit en $N$ a été rencontré à l’occasion du 4.8.25, et du 5.6.1, encore, et probablement ailleurs).

    Document joint : idm4-8-15.jpg
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