Figure sans paroles #4.8.21

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.8.21

    le 19 mars à 17:17, par Hébu

    On part d’un triangle $ABC$, où le cercle inscrit, de centre $I$ tangente les côtés $(AB), (BC), (CD)$ respectivement en $F, D, E$.

    La droite $(EF)$ coupe $(BC)$ en $H$. Il s’agit de montrer que $HI$ et $AD$ sont perpendiculaires.

    .
    On note $G$ le point de concours de $AD$ avec $EF$. On sait que $BE, AD$ et $CF$ sont concourants (« point de Gergonne ») : soit $J$ le point de concours.

    Le quadrilatère $BFEC$, complété des points $A$ et $H$, forme un quadrilatère complet, dont les diagonales $(AH)$, $(BE)$ et $(CF)$ se divisent harmoniquement. Par exemple, $K,J$ divisent harmoniquement $CF$. De sorte que les droites $(AH), (AB),(AD),(AC)$ forment un faisceau harmonique.

    .
    Toute sécante à ce faisceau engendre à son tour une division harmonique.

    Ainsi de la sécante $(HE)$ : les points $H$ et $G$ sont conjugués harmoniques de $(E,F)$. $G$ est donc sur la polaire de $H$ par rapport au cercle.

    .
    La droite $(HD)$ est tangente au cercle : le point $D$ est lui aussi sur cette polaire, qui est donc la droite $(AD)$.

    $AD$, polaire du point $H$ est perpendiculaire à la droite $HI$, qui joint $H$ au centre du cercle.

    .

    Document joint : idm4-8-21.jpg
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