Figure sans paroles #4.8.23

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.8.23

    le 3 juillet à 18:23, par Hébu

    Un triangle $ABC$, et un point $D$ à l’intérieur, que l’on projette sur les côtés du triangle en $E, F$ et $G$. $EF$ vient couper $BC$ en $H$. Le cercle qui passe par $E, F, G$ recoupe $BC$ en $K$.

    Alors, $AK$ et $HD$ sont perpendiculaires.

    .
    J’appelle $(c)$ le cercle qui passe par $K, G, F, E$. J’ignore momentanément les droites $(AK), (HD)$, de même que leur intersection.

    A cause des angles droits en $E$ et $F$ je peux construire un cercle $(c_1)$, de diamètre $AD$, qui passe par $E$ et $F$. A cause de l’angle droit en $G$, je construis un cercle $(c_2)$ qui passe par $D, G, K$, son diamètre est $DK$. Le point $J$ est l’autre intersection de $(c_1)$ et $(c_2)$.

    La droite $(BH)$ est l’axe radical de $(c)$ et $(c_2)$. La droite $(HE)$ est l’axe radical de $(c)$ et $(c_1)$. Et $(JD)$, axe radical de $(c_1)$ et $(c_2)$ doit passer par $H$, le centre radical.

    Puisque $AD$ et $KD$ sont des diamètres, alors $AJD=\pi/2$, $KJD=\pi/2$ : les points $A, J, K$ sont alignés.

    $(AK)$ et $(HD)$ sont orthogonales, $J$ étant leur intersection.

    Document joint : idm4-8-23.jpg
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