Figure sans paroles #4.8.36

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.8.36

    le 13 avril à 16:25, par Hébu

    Un triangle $ABC$, un cercle passant par $B$ et $C$ coupe $AB$ en $D$ et $AC$ en $E$.

    Depuis $B$ et $C$ deux sécantes coupent ce cercle en $F$ et $G$, puis se coupent en $J$.

    Deux cercles, l’un passant par $A, D,G$, le second par $A, E, F$ se coupent à nouveau en $H$.
    .

    Il faut montrer que $A, J, H$ sont alignés.

    .
    Je prolonge $CJ$, qui coupe le cercle $(ADG)$ en $I$, puis $DJ$, qui vient couper le cercle $(AEF)$ en $K$.

    .
    Dans le cercle $ADG$, les angles $\widehat{AIG}$ et $\widehat{ADG}$ sont égaux. Et puisque $BDGC$ est inscriptible, $\widehat{ADG}=C$. De sorte que $IA$ est parallèle à $BC$.

    Même argument pour $\widehat{AKF}$ égal donc à $B$, $AK$ est parallèle à $BC$ (de sorte que $I, A, K$ sont alignés).

    .
    Détour un peu long, pour remarquer que $JGF$ et $JKI$ sont semblables (on a directement $\widehat{JGF}=B$, $\widehat{JFC}=C$), et donc $JF/JI=JG/JK$, soit $JF\times JK = JG\times JI$ : le point $J$ est sur l’axe radical des deux cercles — c’est à dire sur $AH$.

    .

    Document joint : idm4-8-36.jpg
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