Figure sans paroles #4.8.37

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.8.37

    le 26 mai à 16:27, par Hébu

    Un triangle $ABC$. Un cercle $c_1$, passant par $B$ et $C$, coupe $AB$ en $D$ et $AC$ en $E$.

    Depuis $B$ une droite coupe le cercle en $F$ ; depuis $C$, une autre sécante le coupe en $G$, les deux sécantes se recoupant en $H$.

    Je place un point $P$ sur $AJ$, puis un cercle $c_2$ passant par $D, G$ et $P$. Il coupe $AH$ en $J$.

    Alors, les points $E, J, F, P$ sont cocycliques (cercle $c_3$).

    .

    .
    $DG$ est l’axe radical de $(c_1, c_2)$. Soit $K$ l’intersection de $DG$ et $AJ$. Il aura même puissance par rapport aux deux cercles ; en particulier, $KD\times KG=KP\times KJ$.

    On construit le cercle $c_3$ passant par $E,P,F$. Il coupe $c_1$ en $E$ et $F$, $EF$ est donc l’axe radical de $(c_1,c_3)$.

    Et $EF$ passe par le point $K$, puisque, dans $c_1$ $KD\times KG=KE\times KF$ : $K$ ayant même puissance par rapport aux deux cercles est sur leur axe radical.

    Et puisque $KP\times KJ=KD\times KG=KE\times KF$, alors $J$ doit être sur l’axe radical de $c_2$ et $c_3$ — et donc sur $c_3$.

    Document joint : idm4-8-37.jpg
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