Figure sans paroles #4.8.38

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Hébu il y a 4 mois

    Le triangle $ABC$. Soient $M$ et $N$ les milieux des côtés $AB$ et $AC$, de sorte que $BN$ et $CM$ sont les médianes. On nomme $K$ le milieu de $BN$, $J$ le milieu de $CM$.

    Et on trace les cercles, de centre $K$ et $J$, passant par $B, N$ (resp $C, M$)

    Ces cercles se coupent en $P$ et $Q$.

    Il va falloir montrer que la droite $PQ$ passe par $A$. Et, peut-être, aussi, qu’elle est perpendiculaire à $BC$.

    Cette dernière propriété arrive assez simplement : $MN$ et $BC$ sont parallèles, de même pour $ KJ$ et $BC$ puisque $K$ et $J$ sont les milieux des segments ; de plus $P$ et $Q$ sont sur les deux cercles, $KP=KQ$, $JP=JQ$. $KJ$ est la médiatrice de $PQ$ (donc perpendiculaire).

    $PQ$, perpendiculaire à $KJ$ (qui est parallèle à $BC$), est perpendiculaire à $BC$.

    Changement de méthode, on calcule la puissance de $A$ par rapport au cercle de centre $K$ :
    $AK^2-KN^2$.

    Qu’on réécrit en utilisant des vecteurs !

    $(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{KN})\times (\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KN})$, soit $\overrightarrow{AN}\times \overrightarrow{AB}$.

    Même traitement pour obtenir la puissance par rapport au cercle de centre $J$ :

    $\overline{AJ}^2-\overline{JM}^2=(\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{JM})\times (\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{JM})=\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{AC}$

    Mais $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}/2, \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}/2$ de sorte que $A$ a même puissance par rapport aux deux cercles ! Il est donc sur l’axe radical — c’est à dire $PQ$.

    Finalement, $A, P, Q$ sont alignés, et $AQ$ est la hauteur abaissée de $A$ sur $BC$.

    Ca ressemble davantage à une séance de prestidigitation qu’à un souvenir des bancs de l’école...

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