Figure sans paroles #4.8.39

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Hébu 23 janvier

    Pour tracer la figure (et en nommer les points) :

    $ABC$ un triangle, soient $M$ et $N$ les milieux des côtés $AB$ et $AC$.

    On abaissa la hauteur $AH$ de $A$ sur $BC$.

    Les trois points $B, H, N$ déterminent un cercle $(C_1)$. De même, $M, H, C$ déterminent le cercle $(C_2)$.

    Ces deux cercles se coupent évidemment en $H$ et soit $J$ l’autre point de concours.

    Deux façons de formuler le problème à partir de là.

    1/ Soit $P$ le milieu de $MN$. Alors, les points $H$, $P$, $J$ sont alignés.

    2/ $JH$ coupe $MN$ en $P$, qui est le milieu de $MN$

    Il me semble que ces deux formulations se valent. Mais, en même temps, j’ai une solution pour la deuxième seulement...

    Ma proposition de solution : je prolonge le segment $MN$, qui va couper les cercles en $D$ —
    cercle $(C_1)$, et en $E$ — cercle $(C_2)$. Le point $M$, dans le triangle rectangle $ABH$ est tel que $MA=MH=MB$.

    Donc, $M$ est sur la médiatrice de $BH$, qui passe par le centre du cercle. Et comme $MN$ est perpendiculaire à cette médiatrice, il s’ensuit que $MN=MD$

    Même raisonnement avec $AHC$ qui aboutit à $MN=NE$.

    Maintenant, $JH$ (que j’ai tracé pour qu’il coupe $MN$ en $P$ sans savoir où se trouve ce dernier), $JH$ donc est l’axe radical de ces deux cercles.

    Donc $PM\times PE=PN\times PD$, soit encore :

    $PM \times PN + PM \times NE=PN \times PM +PN \times MD$,

    et donc $PM \times NE=PN \times MD$, ou encore puisque $NE=MD$, $PM=PN$

    $P$ est donc le milieu de $MN$.

    Il faudrait chercher comment attaquer le problème par l’autre côté.

    A suivre

  • Aziz El Kacimi 25 janvier

    Rassurez-vous : vos assertions 1) et 2) disent la même chose et vous avez donné une belle démonstration.
    Vous n’avez nullement besoin d’attaquer le problème de l’autre côté (comme vous dites). Bravo !

  • Hébu 27 janvier

    Oui, évidemment, les deux formulations sont équivalentes. Mais justement, c’est frustrant de ne pas pouvoir résoudre dans l’autre sens. Ca ressemble aux défis posés au alpinistes : tu as fait la face sud, essaies par la face nord ! La difficulté est « la même, » puisque le dénivelé à vaincre est identique...

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