Figure sans paroles #4.9.12

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.9.12

    le 10 novembre à 15:15, par Reine

    Tout comme dans les Figures sans Paroles 4.9.3, 4.9.9, 4.9.10 et 4.9.11, on se donne un triangle $ABC$ et des points $A_1$ et $A_2$ (respectivement $B_1$ et $B_2$, $C_1$ et $C_2$) sur la droite $BC$ (respectivement $CA$, $AB$), tels que le segment $A_1A_2$ ait même milieu que $BC$, $B_1B_2$ que $CA$ et $C_1C_2$ que $AB$. En appelant $\alpha'$ le point où se coupent $A_1B_1$ et $A_2C_2$, puis $\beta'$ et $\gamma'$ ses homologues par permutation des sommets, l’enjeu est ici la concurrence en un même point des trois droites $A\alpha'$, $B\beta'$ et $C\gamma'$.

    À cette figure déjà bien riche, ajoutons six nouveaux points : les intersections $A_3$ de $B_1C_1$ avec $BC$, $B_3$ de $C_1A_1$ avec $CA$, $C_3$ de $A_1B_1$ avec $AB$, et les intersections $A_4$ de $B_2C_2$ avec $BC$, $B_4$ de $C_2A_2$ avec $CA$ et enfin $C_4$ de $A_2B_2$ avec $AB$. Ces points ont la propriété suivante : le segment $\,A_3A_4$ (respectivement $\,B_3B_4$, $C_3C_4)$ a le même milieu que $\,BC$ (respectivement $\,CA$, $AB$).

    Pour voir que $A_3$ et $A_4$ sont symétriques par rapport au milieu de $BC$, utilisons l’alignement de $A_3$, $B_1$ et $C_1$ et la formule de Ménélaüs pour calculer le rapport dans lequel $A_3$ divise $CB$ :\[\frac{\,\overline{\!A_3C\!}\,}{\,\overline{\!A_3B\!}\,}=\frac{\,\overline{\!B_1C\!}\,}{\,\overline{\!B_1A\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!C_1A\!}\,}{\,\overline{\!C_1B\!}\,}\;;\]de même,\[\frac{\,\overline{\!A_4B\!}\,}{\,\overline{\!A_4C\!}\,}=\frac{\,\overline{\!B_2A\!}\,}{\,\overline{\!B_2C\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!C_2B\!}\,}{\,\overline{\!C_2A\!}\,}\;.\]
    Les symétries par rapport au milieu de $AC$ pour le premier facteur et de $AB$ pour le second entraînent l’égalité des deux produits ; ainsi, $A_4$ divise $BC$ comme $A_3$ divise $CB$, et ces deux points sont donc symétriques par rapport au milieu de $BC$. Et même chose pour $B_3$ et $B_4$, ainsi que $C_3$ et $C_4$.

    Pour vérifier que $A\alpha'$, $B\beta'$ et $C\gamma'$ sont concourantes, Céva dit qu’il suffit de savoir dans quel rapport $A\alpha'$ divise $BC$, et de même pour les deux autres. On dispose pour cela d’une formule, déjà utilisée dans mon commentaire à la Figure sans Paroles 4.9.11 : Soit deux droites se coupant en un point $\,O$, trois points $\,U_1$, $U_2$ et $\,U_3$ sur l’une d’elles et trois points $\,V_1$, $V_2$ et $\,V_3$ sur l’autre (figure b ci-jointe). En appelant $\,Z$ le point de $\,U_3V_3$ aligné avec $\,O$ et ${\,U_1V_2\cap U_2V_1}$, le rapport dans lequel $\,Z$ divise le segment $\,U_3V_3$ est donné par\[\frac{\,\overline{\!ZU_3\!}\,}{\,\overline{\!ZV_3\!}\,}=-\;\frac{f(O,V_1,V_2,V_3)}{f(O,U_1,U_2,U_3)}\;,\] où $\,f$ est une certaine fonction invariante par les symétries du plan.

    Prenant $C_2$, $C_3$ et $B$ pour $U_1$, $U_2$ et $U_3$, et $B_1$, $B_4$ et $C$ pour $V_1$, $V_2$ et $V_3$, on voit que $A\alpha'$ divise $BC$ dans le rapport\[k_{A}=-\;\frac{f(A,B_1,B_4,C)}{f(A,C_2,C_3,B)}\;;\]en permutant les $A$, les $B$ et les $C$, on trouve que $B\beta'$ divise $CA$ dans le rapport\[k_{B}=-\;\frac{f(B,C_1,C_4,A)}{f(B,A_2,A_3,C)}\;,\]puis une formule analogue pour $k_{C}$ associé à $C\gamma'$ et $AB$.

    La symétrie par rapport au milieu de $AB$ échange $A$ et $B$, $C_2$ et $C_1$, et $C_3$ et $C_4$ ; ainsi le dénominateur de $\,k_{A}$ égale le numérateur de $\,k_{B}$. De même pour le dénominateur de celui-ci et le numérateur de $\,k_{C}$, puis $k_{C}$ et $k_{A}$. Le produit $k_{A}k_{B}k_{C}$ vaut donc $-1$, ce qui confirme, via le théorème de Céva, que les trois droites sont concourantes.

    Document joint : figure-4-9-12.pdf
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