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• 4.9.24

  le 28 novembre 2021 à 15:06, par Reine

  Cette figure 4.9.24 ressemble à la Figure sans Paroles 4.9.14, et peut très simplement s’étudier en suivant la même recette : quatre Ménélaüs [1] et un Desargues.

  On part d’un triangle $ABC$ dont je noterai $a$, $b$ et $c$ les longueurs des côtés. On prolonge ces côtés en construisant des points $A_1$ et $A_2$ sur $BC$, $B_1$ et $B_2$ sur $CA$ et $C_1$ et $C_2$ sur $AB$ de façon que ${A_1B=AB_2=AB}$, ${B_1C=BC_2=BC}$ et ${C_1A=CA_2=CA}$. Les droites $A_1B_2$, $B_1C_2$ et $C_1A_2$ forment un triangle $A'B'C'$ ; il s’agit de vérifier que les trois droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$ concourent en un même point.

  Selon un théorème de Desargues, il suffit à cet effet de vérifier l’alignement des points $C''$ intersection de $AB$ avec $A'B'$, $A''$ intersection de $BC$ avec $B'C'$ et $B''$ intersection de $CA$ et $C'A'$.

  Les points $A_1$, $B_2$ et $C''$ étant alignés, Ménélaüs déduit la position de $C''$ sur le côté $AB$ de celles de $A_1$ sur $BC$ et de $B_2$ sur $CA$ :\[\frac{\,\overline{\!C''B\!}\,}{\,\overline{\!C''A\!}\,}=\frac{\,\overline{\!A_1B\!}\,}{\,\overline{\!A_1C\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!B_2C\!}\,}{\,\overline{\!B_2A\!}\,}=\frac{c}{c+a}\times\frac{b+c}c=\frac{b+c}{c+a}\;.\]De même,\[\frac{\,\overline{\!A''C\!}\,}{\,\overline{\!A''B\!}\,}=\frac{c+a}{a+b}\quad\hbox{et}\quad\frac{\,\overline{\!B''A\!}\,}{\,\overline{\!B''C\!}\,}=\frac{a+b}{b+c}\;.\]Il en résulte aussitôt que\[\frac{\,\overline{\!C''B\!}\,}{\,\overline{\!C''A\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!A''C\!}\,}{\,\overline{\!A''B\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!B''A\!}\,}{\,\overline{\!B''C\!}\,}=1\;,\]c’est-à-dire (Ménélaüs encore, et non Céva !) que les points $A''$, $B''$ et $C''$ sont alignés.

  [1] Et non trois Ménélaüs et un Céva ! Une erreur impardonnable dans mon commentaire sur la Figure sans Paroles 4.9.14 a travesti en Céva mon quatrième recours à Ménélaüs. Puissent les mânes de ces savants me pardonner !

  Document joint : figure-4-9-24.pdf
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