Figure sans paroles #4.9.25

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 4.9.25

    le 23 de enero à 11:47, par Sidonie

    ABCDEF est un hexagone ayant ses angles opposés égaux.On commence par démontrer que ses côtés opposés sont parallèles. On note a, b et c les mesures des 3 angles de sommets A,B et C alors a+b+c= 360° . On trace [AC]. x et y sont les mesures des angles de ABC de sommet A et C alors x+b+y = 180° . Par différence il vient (a-x)+(c-y) = 180° ce qui signifie que les droites (AF) et (CD) sont coupés par (AC) en formant des angles correspondants supplémentaires d’où (AF)//(CD)
    Construction et démonstration
    ABCDE est un pentagone convexe avec (AB)//(DE). Par ces 5 points passe une ellipse. La parallèle à (CD) passant par A coupe l’ellipse en F.
    Il faut démontrer que (EF)//(BC) et que les droites passant par les milieux des côtés opposés de l’hexagone ABCDEF sont concourantes.
    On trace le cercle principal et on envoie les 6 points en GHIJKL par affinité orthogonale qui conserve les parallélisme de droites donc (GL)//(JI) et (GH)//(JK) formant des angles égaux et donc des arcs HL et IK égaux. (MN) est le diamètre perpendiculaire à [HI] partageant le cercle en 2 arcs égaux dont on enlève les 2 arcs précédents pour avoir l’égalité d’arcs LN = KN. et donc (MN) perpendiculaire à (KL) d’où (KL)//(HI).
    Pour faire bonne mesure on prend les 2 diamètres perpendiculaires aux autre côtés pour obtenir 3 droites concourantes passant par les milieux des côtés opposés.
    L’affinité inverse finit le boulot; Elle conserve les milieux, les intersections et le parallélisme.
    On a bien (EF)//(BC) et les 3 diamètres deviennent 3 droites concourantes passant par les milieux des côtés opposés.

    Document joint : fsp_4.9.25.jpg
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