Figure sans paroles #4.9.27

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.9.27

    le 13 mars à 23:37, par Sidonie

    La solution s’appuie sur la même propriété utilisée au 4.9.30 déclinée différemment : toute droite passant par l’orthocentre d’un triangle a ses symétriques par rapport à chacun des côtés concourantes en un point du cercle circonscrit.

    Un triangle ABC, son cercle circonscrit $(C)$, D un point quelconque, A chaque sommet (ici A) on associe un cercle (ici $(C_1)$ ) passant par A et par les symétriques E et F de D par rapport à (AB) et (AC). Il s’agit de prouver que les 3 cercles ainsi obtenu ainsi que $(C)$ passent par un même point, c’est d’ailleurs le même point que celui obtenu au 4.9.30.

    H est l’orthocentre de ABC, I et J sont les symétriques de H par rapport à (AB) et (AC) ; On sait qu’ils appartiennent à $(C)$. (EI) et (FJ) se coupent en G. Ces 2 droites sont symétriques de (DH) par rapport aux côtés (AB) et (AC) donc G est un point de $(C)$.

    J’utilise les angles orientés de droites pour englober toute configuration possible.

    La composée de la symétrie (AB) suivie de (AC) est la rotation de centre A et d’angle 2x(AB,AC).
    Dans cette rotation (AE) devient (AF) et (EI) devient (FJ) donc (AE,AF) = (EI,FJ) = (GE,GF) et G est un point de $(C_1)$.

    $(C)$ et $(C_1)$ passent donc par G qui s’obtient comme intersection de $(C)$ avec la symétrique de (DH) par rapport à n’importe quel côté. Il en sera donc de même pour $(C_2)$ et $(C_3)$

    Document joint : fsp_4.9.27.jpg
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