Figure sans paroles #4.9.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

  • Hébu 13 février

    Le tracé de la figure semble assez simple. Un triangle, quelconque, $ABC$. Un point $P$ à l’intérieur, que l’on joint à chaque sommet, donnant les segments $AJ$, $BK$ et $CL$.

    Sur chacun des côtés, on marque le point « prime », ainsi $K'$ tel que $CK'=AK$, puis $BJ'=CJ$ et $BL'=AL$ (chaque point « prime » symétrique du point initial par rapport au milieu du côté qui les porte).

    Alors, il faut montrer que les $AJ'$, $BK'$ et $CL'$ se croisent en un même point $P'$ - les segments sont concourants.

    La configuration initiale fait penser au théorème de Céva, qui dit que les segments sont concourants si et seulement si l’égalité suivante est respectée :

    \[ \frac{JB}{JC}\times \frac{KC}{KA}\times \frac{LA}{LB}=1 \]

    (version de base).

    Puisque la figure a été construite pour, l’égalité ci-dessus est nécessairement valide.

    Maintenant, considérons les points $J', K', L'$. Puisque $J'B=JC$, on a évidemment $J'C=JB$. Et donc $\frac{J'B}{J'C}=1/\frac{JB}{JC}$, etc.

    Au final,
    \[ \frac{J'B}{J'C}\times \frac{K'C}{K'A}\times \frac{L'A}{L'B}=[ \frac{JB}{JC}\times \frac{KC}{KA}\times \frac{LA}{LB}]^{-1}=1 \]

    ce qui prouve, via le fait que le théorème donne une condition nécessaire et suffisante, une preuve du résultat !

    La démonstration implique d’avoir démontré Céva. Moyennant quoi, la dérivation qui s’ensuit semble désespérément simple (je dis ça parce que je sèche sur le 4.9.2, pour lequel je n’arrive pas à sortir un argument aussi péremptoire)

La tribune des mathématiciens

Suivre IDM