Figure sans paroles #5.1.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.1.10

    le 20 mai à 20:17, par Sidonie

    L’hexagone ABCDEF a ses côtés opposés parallèles et de même longueur. Les cercles circonscrits à EAF et EDC se recoupent en G. Il faut prouver que A,B,C et G sont cocycliques.

    J’ajoute le point H de (EF) tel que (GH)//(DE).

    Les égalités suivantes sont en mesure d’angle.

    1. HGE = GED = GCD ( parallélisme, puis cercle (CDE)

    2. BCG + BAG = BCD - GCD + AGH = AFE - HGE + AGH = AFE + AGE =180° (cercle (AFE))

    3. L’égalité BCG + BAG = 180° prouve la cocyclité.

    Document joint : fsp_5.1.10.jpg
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    • 5.1.10

      le 21 mai à 14:58, par Hébu

      Oui, très astucieux, l’introduction du point H !

      .
      Je me permets de rectifier une petite coquille dans les égalités d’angles :

      1. HGE=180°-GED=GCD

      2. BCG+BAG= (BCD-GCD) +(180°-AGH) = (AFE-HGE) +180°-AGH

      = 180 + AFE- (AGH+HGE) = 180+ AFE-AGE = 180°

      puisque AFE=AGE (cercle AFE)

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      • 5.1.10

        le 21 mai à 16:25, par Sidonie

        Bonjour,

        Vous complétez heureusement ma démonstration car si elles’applique à la la figure que j’ai utilisée, d’autres nécessitent votre raisonnement. Il faudra sans doute qu’on s’habitue aux angles orientés qui lèvent ce genre de difficulté.

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        • 5.1.10

          le 23 mai à 11:43, par Hébu

          Oui, j’ai lu la preuve sur ma propre figure (ci-jointe). C’est assez ennuyeux, on peut passer en déplaçant un ou deux points d’une configuration à l’autre. Et en existe-t-il encore d’autres (des configurations), pour lesquelles aucun des deux arguments ne marcherait ?

          .
          J’ignore si les angles orientés résolvent le problème. Mais effectivement, si c’est la cas, il faut les adopter !
          (dans mon esprit, sommairement éduqué à la géométrie, c’est à la trigonométrie que cette notion se raccrochait — et c’est là qu’elle pouvait être utile ; il faut que je creuse la chose.)

          Document joint : idm5-1-10-2.jpg
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