Figure sans paroles #5.1.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.1.2

    le 25 mars à 16:12, par Hébu

    Un parallélogramme $ABCD$. On pose on point $E$ sur $AB$, un point $F$ sur $CD$ de sorte que les longueurs de $AE$ et $CF$ soient égales (on note $\ell$ cette longueur).

    Les segments $EC$ et $AF$ se coupent au point $J$

    .
    Il faut alors montrer que $JD$ est la bissectrice de l’angle en $D$
    .
    Depuis le point $E$, on mène une parallèle $EM$ à $AD$, depuis $F$ une parallèle $FP$ à $CD$. On a ainsi $MD==PD=\ell$. Depuis $J$, on mène une parallèle $JN$ à $AD$ et $JQ$ à $CD$. On a donc $JQ=DN$, $JN=DQ$.

    On notera $a$ la longueur $AD$, $b$ la longueur $CD$, et $x$ et $y$ les longueurs de $JN$ et $JQ$.

    Les triangles $AQJ$ et $APF$ sont semblables. De même pour les triangles $CNJ$ et $CME$. Cela permet d’écrire les deux égalités :
    \[ \frac{a-\ell}{b}=\frac{a-x}{y}\;\;\; \frac{b-\ell}{a}=\frac{b-y}{x} \]
    Triturant comme il se doit ces deux relations, on arrive à la solution
    \[ x=y=\frac{ab}{a + b - \ell} \]
    Ainsi, les segments $JQ$ et $JN$ ont même longueur, de sorte que $JNDQ$ est un losange, $DJ$ est la hauteur du triangle isocèle $DNQ$ ; cette hauteur est également bissectrice : les angles $\widehat{ADJ}$ et $\widehat{JDC}$ sont égaux.

    Document joint : idm5-1-2.jpg
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    • 5.1.2

      le 25 mars à 23:13, par Sidonie

      Admirable ! Je me suis perdue dans un réseau de cercles dont il sortira peut-être un jour quelque chose mais j’en doute. Un détail toutefois,vous pouvez accélérer vos calculs : à partir de la double égalité de rapports, en faisant les produits en croix et en les additionnant judicieusement terme à terme on obtient -xl=-yl.

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  • 5.1.2

    le 26 mars à 12:15, par Hébu

    Il y a une autre façon de faire, plus propre il me semble, en utilisant les propriétés de la bissectrice. J’ai tenté la réciproque par ce moyen !

    .
    Je suppose donc que DJ est la bissectrice de D, et je cherche à montrer que FC et EA ont même longueur.

    .
    je prolonge JF, qui coupe DC en H, je prolonge aussi JE, qui coupe DA en G.

    .
    on voit que les triangles JEA et JCH sont semblables : EA/CH=JA/JH

    Mais comme DJ est bissectrice de l’angle ADH, alors JA/JH=DA/DH

    Donc (1) EA/CH=DA/DH

    Les triangles FCH et ADH sont semblables, eux aussi : (2) FC/CH=AD/DH

    Rapprochant (1) et (2), on voit que EA=FC

    Document joint : idm5-1-2-2.ggb
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    • 5.1.2

      le 26 mars à 15:15, par Sidonie

      Bien vu, et de plus le raisonnement s’inverse sans problème pour résoudre le problème initial.

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    • 5.1.2

      le 26 mars à 17:06, par Sidonie

      J’allais oublier : il est temps d’enlever le bonnet d’âne que je puisse m’en recouvrir.

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      • 5.1.2

        le 27 mars à 10:59, par Hébu

        Pourquoi donc ? J’ai commis une bourde énorme avec mon angle de 30 degrés, alors je l’ai mérité, ce bonnet...

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