Figure sans paroles #5.1.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.1.3

    le 1er avril à 20:09, par Sidonie

    ABCD est un parallélogramme. E est un point à l’intérieur tel que les angles EDC et EBC sont égaux. Il faut montrer que les angles EAB et ECB sont égaux aussi.

    On trace les parallèles à (AB) et à (AC) qui passent par E. Elles coupent les côtés en F,G,H et I. (voir figure).

    Les triangles EDH et EBG sont semblables car ils ont 2 angles égaux : DHE=BGE =DCB et HBE=GBE par hypothèse. Donc HD/HE=GB/GE d’où on tire HD/GB=HE/GE.

    Ce qui devient FE/FA=GC/GE. Les triangles AFE et CGE ont un angle égal AFE=CGE=ABC dont les côtés sont proportionnels donc ils sont semblables et es angles EAB et ECB sont égaux.

    Document joint : idm_5.1.3.jpg
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    • 5.1.3

      le 2 avril à 16:33, par Hébu

      Très bien vu ! J’ai mis un commentaire hier soir mais il a disparu... Je réitère en complétant mes réflexions.

      J’étais parti avec l’idée de montrer que les triangles AEJ et CEB étaient semblables, ceci via les similitudes de AJD et AKB, et de EKD et EJB.
      .

      Mais ça ne suffit pas !

      Il y a aussi l’examen des quadrilatères AJEK et CBED. On passe du premier au second par une suymétrie par rapport à la bissectrice de l’angle JEB, suivi d’une homothétie, de centre J et de rapport EC/EJ (=EB/EJ=ED/EK=CD/AK). Mais comment le montrer ? (c’est équivalent a l’approche précédente, je pense)
      .

      Je continue donc.

      Document joint : idm5-1-3bis.ggb
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      • 5.1.3

        le 2 avril à 16:52, par Hébu

        Une proposition, qui fait suite au post précédent (même figure)

        les triangles DAJ et BAK sont semblables, et :
        DA/BA=DJ/BK=AJ/AK

        De AK/AJ=AB/AD, on déduit la similitude de AKJ et CDB (angles en A et C égaux). Et DB/KJ=AB/AD

        .

        les triangles EKD et EJB sont semblables :
        EK/EJ=ED/EB=KD/JB

        De EK/EJ=ED/EB, on déduit la similitude de EKJ et EDB (même angle en E).

        .
        Les quadrilatères AJEK et CBED sont formés par réunion de deux triangles semblables (de même rapport de similitude BD/KJ=AB/AD)

        Ils sont donc semblables, leurs angles homologues sont égaux, ergo EAB=ECB

        .
        Un peu tordu, peut-être

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      • 5.1.3

        le 2 avril à 23:42, par Sidonie

        Deux quadrilatères sont semblables si 3 angles sont égaux, et si l’un d’eux a ses côtés proportionnels. Avec AK/AJ=BC/DC c’est donc le cas. Peu importe la nature de la similitude (que vous avez pourtant soigneusement décrite) elle conserve les angles et donc EAB et son image ECD sont égales.

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  • 5.1.3

    le 3 avril à 17:55, par Hébu

    Je ne sais pas ce qui se passe. J’ai posté un commentaire cet après-midi, vers 14 ou 15 heures, et il a disparu (il est environ 18 heures).

    C’est la 2eme fois qu’une telle mésaventure m’arrive en 2 jours. J’ai pensé à une fausse manoeuvre de ma part, mais 2 fois de suite...

    .

    Alors, je répète mon commentaire


    On pourrait se passer des quadrilatères, en considérant les triangles $EAJ$ et $ECB$, les égalités précédentes établissant leur similitude. Si on fait le tour des triangles semblables, on peut faire l’énumération des rapports égaux :

    $AD/AB=DJ/BK=AJ/AK=BD/JK=BC/AJ=CD/AK=BE/EJ=DE/EK$.

    .
    Et, de $BC/AJ=BE/EJ$ (et de l’égalité des angles en $B$ et $J$), on déduit la similitude de $EAJ$ et $ECB$.

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