Figure sans paroles #5.1.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.1.4

    le 8 avril à 10:38, par Sidonie

    Sur le coté [AB] d’un parallélogramme ABCD de centre O, on place E tel que les angles OEB et ABC soient égaux. Il faur prouver que CE=DE.

    On place sur [CD] 3 points : F aligné avec O et E, G tel que (EG) // (AD) et H tel que (EH) et (CD) soient perpendiculaires.

    Les angles suivants sont égaux EGF=ADC=ABC=BEF=EFG donc EFG est un triangle isocèle et (EH) est la médiatrice de [GF].

    Les longueurs suivantes sont égales : FC= AE=DG d’où HC=HD et (HE) est la médiatrice de [CD] et donc CE=CD

    Document joint : idm_5.1.4.jpg
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    • 5.1.4

      le 8 avril à 14:55, par Hébu

      Oui, une jolie preuve bien enlevée. Je propose une variante :

      .

      Depuis O je mène la parallèle à AD qui coupe AB en J et CD en H. Je mène aussi la perpendiculaire à AB depuis O.

      La droite OE est alors symétrique de OJ par rapport à cette perpendiculaire (cela permet un tracé simple de E). EO coupe CD en F, les triangles OEJ et OHF sont isocèles, et égaux, de sorte que EH est perpendiculaire à CD.

      .

      Et comme H est évidemment milieu de CD (de par sa construction), EH est la médiatrice de ECD.

      .

      On tourne autour des mêmes idées, finalement.

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      • 5.1.4

        le 8 avril à 15:12, par Sidonie

        Jolie preuve également, avec plein de triangles isocèles égaux ou semblables. Donc pas mal de possibilités à venir.

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  • 5.1.4

    le 8 avril à 18:59, par Hébu

    Oui, et même une autre preuve, plus amusante peut-être !

    .
    Ayant placé le point E, le point F, on prolonge EF, qui coupe (AD) en M et (BC) en N. Les triangles DMF et EBN sont isocèles et égaux. Par symétrie, AF=DE, et CE=BF.

    .

    On en déduit l’égalité de leurs éléments homologues. Les points A, E et C, F placés en même position, de sorte que les segments AF et CE, ou FB et DE « homologues », sont égaux (on pourrait aussi invoquer pour cela l’égalité des triangles AED et FCE, où les angles sont égaux et AD=EF). Et donc DE=CE

    .

    Rq. Pour l’isocélité (?) de DMF et EBN, pas de problème. Par contre, leur égalité est-elle évidente ?

    Document joint : idm5-1-4bis.jpg
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    • 5.1.4

      le 9 avril à 10:32, par Sidonie

      C’est en effet une jolie figure qui permet une démonstration plus rapide en considérant la symétrie de centre O qui donne EC=AF et aussi l’égalité des 2 triangles maintenant plus guère nécessaire.

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      • 5.1.4

        le 9 avril à 17:04, par Hébu

        Oui ! Et on tient là sûrement la démonstration la plus courte.

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        • 5.1.4

          le 9 avril à 23:11, par Sidonie

          Et encore une fois l’union fait la force.

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        • 5.1.4

          le 10 avril à 15:47, par Sidonie

          On peut même accélérer en ne traçant que F symétrique de E par rapport à E. La symétrie centrale donne les deux trapèzes isocèles (à causes des angles égaux) AEFD et CEFB isométriques avec 4 diagonales de même longueur.

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          • 5.1.4

            le 10 avril à 17:17, par Hébu

            Exact ! Cela rend la figure plus épurée.

            .

            Cela suscite une réflexion, à propos de la démonstration la plus « courte » ou la plus « simple ». Une démonstration consiste à appliquer un théorème (ou plusieurs) à une figure, la figure initiale pouvant être complétée (comme on l’a fait, dans les démonstrations initiales, en traçant les points F, H, M, etc).

            .
            A partir de là, la démonstration la plus courte sera celle qui complétera le moins possible la figure initiale, et qui utilisera le moins de théorèmes ? Ou les théorèmes les plus élémentaires ?

            .
            Par exemple, je peux « résoudre » le problème de la « droite de Simpson », en disant simplement « en vertu du théorème de M. Simpson, etc. » Mais cela ne me vaudra pas de médaille.

            .
            Comment, dans ces conditions, parler de la preuve la plus simple ?

            .
            Bon, je m’éloigne du sujet...

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