Figure sans paroles #5.1.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.1.6

    le 23 avril à 00:25, par Sidonie

    ABCD est un parallélogramme. La bissectrice de ADC coupe (AB) en E et (BC) en F. O est le centre du cercle circonscrit au triangle BEF. Il faut démontrer que les points A,B,C et O sont cocycliques.

    On trace le cercle de centre A passant par D . il recoupe (CD) en G. La suite est en angles.
    EFB=ADE=EDC=FEB donc EFB est isocèle et [BO) est la bissectrice de EBF
    EAG=AGD=ADG=2DEG donc E appartient au cercle. De plus OEB=OBE=BAD/2=EGC ce qui prouve que G,E et O sont alignés.

    ABCG est un trapèze isocèle donc G est sur le cercle passant par ABC.

    Dans le cercle de centre O : GOB=2EFB=ADG=DGA=GAB donc O appartient au cercle passant par A, G et B qui passe aussi par C . Un peu confus j’en conviens.

    Document joint : fsp_5.1.6.jpg
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  • 5.1.6

    le 23 avril à 10:55, par Hébu

    Belle démonstration !

    Je propose une micro-variante, pour établir que E est sur le cercle, faisant usage de segments plutôt que d’angles :

    les triangles BEF et CDF sont isocèles (et semblables). De ce fait, AB=CD=CF, et AE=AB-BE=BC=AD.

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  • 5.1.6

    le 27 avril à 15:02, par Hébu

    Une autre façon de présenter la chose.

    On trace la droite DF (bissectrice), et le cercle passant par E, B, F (centre O), et celui qui passe par A, D, E.

    .

    le cercle qui passe par A, D, E a son centre O’ sur la bissectrice de DAE (puisque le triangle est isocèle). De plus, puisque AEG=C/2=A/2, O’ est sur OG (O’AE isocèle).

    Les triangles ADE, CDF et BEF sont isocèles (angles en D,E, F égaux).

    E est centre d’homothétie, E image de D B image de A. Soit O le centre du cercle qui passe par E, B, F. Son image par l’homothétie est le cercle passant par A, D, E, dont le centre O’ est sur la droite OE. Cette droite coupe CD en un point G.

    .

    (la considération de l’homothétie n’apporte rien, à vrai dire).

    .

    Puisque BEF est isocèle, BO est la bissectrice de EBF, OBE=C/2 et de ce fait BOE=B (B est la valeur de l’angle ABC, C celle de BCD, etc. ; B+C=180)

    L’angle EGD=180-C/2 de sorte que EGD+O’AD=180 : A, O’, G, D sont cocycliques. Puisque AO’ est médiatrice de ED, AO’D=AO’E=B ; donc AGD=B=ADG, et AG=AD et AGC=C.

    .
    Si maintenant on introduit le cercle passant par A, B et O : OGA=180-AGD-EGC=C/2=OBE : G est sur ce cercle. Quant à C, il est aussi sur ce cercle, puisque ABCG est un trapèze isocèle.

    Document joint : idm5-1-6bis.jpg
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    • 5.1.6

      le 27 avril à 15:13, par Hébu

      « le cercle qui passe par A, D, E a son centre O’ sur la bissectrice de DAE (puisque le triangle est isocèle). De plus, puisque AEG=C/2=A/2, O’ est sur OG (O’AE isocèle) » :

      .
      cette phrase est à supprimer (j’ai fait un copier/coller un peu hatif. On ignore évidemment la valeur de AEG à ce point.

      .
      De plus, il faut lire « F est l’image de D », bien sûr !

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      • 5.1.6

        le 1er mai à 10:07, par Sidonie

        Nous avons fait un gros effort de confusion.

        Autre méthode.

        E , F et O étant placés , le cercle de centre O aussi.
        b est la mesure de l’angle ABC.
        L’angle au centre EOB mesure b en tant que double de l’angle inscrit EFB. Le triangle EOB est isocèle avec un angle b au sommet.

        Je trace le cercle passant par A,B et C. Il recoupe (CD) en G. Le trapèze inscriptible ABCG est isocèle donc AG=BC=AD.
        Le triangle DAE est isocèle grâce aux deux angles égaux donc AD=AE
        L’angle GAE =AGD=b
        Le triangle GAE est donc isocèle avec un angle b au sommet. Il est semblable à EOB avec en particulier AEG=OEB ce qui prouve que O,E et G sont alignés.

        L’égalité GAB=GOB=b prouve que O appartient au cercle passant par A,B et C , les points A et O sont d’un côté de (DF) , les points G et B sont de l’autre côté.

        Document joint : fsp_5.1.6_bis.jpg
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        • 5.1.6

          le 2 mai à 18:37, par Hébu

          eh bien, une solution concise, élégante, sans construction annexe encombrante. C’est LA solution ! Bravo

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          • 5.1.6

            le 2 mai à 18:59, par Sidonie

            Et qui, encore une fois, s’est nourrie de vos propres réflexions.

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