Figure sans paroles #5.1.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.1.6

    le 27 avril 2019 à 15:02, par Hébu

    Une autre façon de présenter la chose.

    On trace la droite DF (bissectrice), et le cercle passant par E, B, F (centre O), et celui qui passe par A, D, E.

    .

    le cercle qui passe par A, D, E a son centre O’ sur la bissectrice de DAE (puisque le triangle est isocèle). De plus, puisque AEG=C/2=A/2, O’ est sur OG (O’AE isocèle).

    Les triangles ADE, CDF et BEF sont isocèles (angles en D,E, F égaux).

    E est centre d’homothétie, E image de D B image de A. Soit O le centre du cercle qui passe par E, B, F. Son image par l’homothétie est le cercle passant par A, D, E, dont le centre O’ est sur la droite OE. Cette droite coupe CD en un point G.

    .

    (la considération de l’homothétie n’apporte rien, à vrai dire).

    .

    Puisque BEF est isocèle, BO est la bissectrice de EBF, OBE=C/2 et de ce fait BOE=B (B est la valeur de l’angle ABC, C celle de BCD, etc. ; B+C=180)

    L’angle EGD=180-C/2 de sorte que EGD+O’AD=180 : A, O’, G, D sont cocycliques. Puisque AO’ est médiatrice de ED, AO’D=AO’E=B ; donc AGD=B=ADG, et AG=AD et AGC=C.

    .
    Si maintenant on introduit le cercle passant par A, B et O : OGA=180-AGD-EGC=C/2=OBE : G est sur ce cercle. Quant à C, il est aussi sur ce cercle, puisque ABCG est un trapèze isocèle.

    Document joint : idm5-1-6bis.jpg
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