Figure sans paroles #5.1.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.1.8

    le 6 mai 2019 à 15:46, par Hébu

    ABCD un losange

    Une droite issue de D coupe AB en E et AC en F. Le cercle C1 qui passe par A, D, E coupe AC en J

    Les points F, E, B, J sont cocycliques

    .

    C’est une histoire d’angles.

    Sur le cercle C_1, les angles DEJ (ou FEJ) et DAJ sont égaux.

    De même, EDJ et EAJ sont égaux — même raison, angles inscrits.

    Par symétrie, les angles FBJ et FDJ ont même valeur.

    Il en résulte que
    FBJ=FDJ=EDJ =EAJ=DAJ=FEJ

    .
    Si on trace C_2, le cercle passant par B, F et J, le point E vérifie FEJ=FBJ, il est donc sur ce cercle.

    (Les droites AC et BD sont perpendiculaires, AC est médiatrice de BD, et donc JD=JB, FB=FD. Ca n’intervient pas !)

    Document joint : idm5-1-8.jpg
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