Figure sans paroles #5.1.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.1.9

    le 15 mai 2019 à 00:45, par Sidonie

    E est un point du côté AB d’un parallélogramme ABCD. F,G et H sont les centres des cercles a,b et c circonscrits aux triancle AED, BEC et CED, I est le deuxième point d’intersection entre (CD) et a, J est le point de (CD) tel que (GJ) est perpendiculaire à (FH). Il faut démontrer que J est l’orthocentre du triangle FGH.

    d est le cercle circonscrit au triangle FGH et e est son symétrique par rapport à (GH).

    Dans le cercle a AEID est un trapèze isocèle donc EIC = ADC = EBC ce qui prouve que I appartient au cercle b.

    (HF) est un diamètre commun à a et c, c’ est donc la médiatrice des points d’intersection D et E, de même (GH) et (FG) sont les médiatrices de E,C et E,I.

    Ce qui donne DEI = 180°- HFG.

    Dans le cercle b EGH= EGC/2=EID, dans le cercle c EHG= EHC/2= EDI et les triangles EGH et EID sont semblables avec DEI =HEG

    On a donc HEG = 180° - HFG ce qui prouve que E appartient à d et son symétrique C par rapport à (GH) appartient à e.

    (GJ) // (DE) puisque toutes 2 perpendiculaires à (FH). CJG = CDE =CHE/2 = CHG et donc J appartient à e et son symétrique par rapport (GH) appartient à d.

    En résumé J est un point de la hauteur issue de G dans le triangle FGH dont le symétrique par rapport au côte (GH) appartient au cercle circonscrit. Or l’orthocentre est l’unique point de la hauteur a avoir cette propriété (hors l’évident G lui même).

    Document joint : fsp_5.1.9.jpg
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