Figure sans paroles #5.2.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.2.1

    le 3 juin à 15:01, par Sidonie

    E et F sont les milieux des bases d’un trapèze ABCD. G est le point d’intersection des diagonales. Il faut démontrer que E, F et G sont alignés.

    H est le point d’intersection entre (AD) et (BC), I est le milieu de [GH]

    L’homothétie de centre H qui transforme A en D, transforme B en C et E en F d’où alignement de E,F et H.

    Dans le quadrilatère complet (un revenant) ACHDB les milieux des diagonales sont alignés d’où alignement de E, F et I et donc H or H, I et G sont alignés.

    Les 5 points E,F,G,H et I sont alignés en particulier E,F etG

    Document joint : fsp_5.2.1.jpg
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    • 5.2.1

      le 3 juin à 16:12, par Hébu

      Une autre idée :
      .
      soit F le milieu de CD et E le point de concours de FG et AB. GFC et GEA sont semblables ’angles égaux), GE/EA=GF/FC ; de même, GFD et GEB semblables, GE/EB=GF/FD. Et puisque FC=FD, alors EB=EA, E est milieu de AB.

      .
      Ou, peut être plus expéditif : Les triangles GAB et GCD sont semblables (tous angles égaux).
      G est centre de symétrie, qui matche tous les éléments homologues : il envoie A en C, B en D et E (milieu du segment AB), en F, milieu du segment CD.

      E, G, F sont donc alignés

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      • 5.2.1

        le 3 juin à 16:17, par Hébu

        J’ai écrit « G centre de symétrie » — il faut évidemment comprendre centre d’homothétie !

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      • 5.2.1

        le 3 juin à 18:04, par Sidonie

        Bravo ! Rien à rajouter, on tourne autour de l’homothétie mais la votre est immédiate. J’ai un petit regret pour l’abandon de notre vieille connaissance monseigneur quadrilatère complet.

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        • 5.2.1

          le 3 juin à 21:56, par Hébu

          En fait, il est peut-être (sûrement ?) caché partout, tel Charlie...

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          • 5.2.1

            le 3 juin à 23:53, par Sidonie

            Que diriez-vous d’une CNS dont vous fûtes si friand ?

            E,F,G alignés H l’est aussi comme dans mon premier message..

            Supposons (AB) et (CD) non parallèles. Il existe une droite parallèle à (AB) passant par D elle coupe (BC) en C’. Soit F’ le milieu de [DF’]. Alors F’ est alignés avec G et E donc aussi avec F et H.

            Dans le triangle DCC’, (FF’) est la droite des milieux donc parallèle à (CC’) ce qui est absurde puisqu’elles sont sécantes en H donc (AB)//(CD)

            Document joint : reciproque_5.2.1.jpg
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            • 5.2.1

              le 4 juin à 08:43, par Sidonie

              Naturellement, il faut lire F’ milieu de [DC’]

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              • 5.2.1

                le 4 juin à 12:04, par Hébu

                Ah, j’apprécie beaucoup cette cns ! Elle éclaire bien cette propriété, comme caractéristique du trapèze. Bravo !

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