Figure sans paroles #5.2.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.2.3

    le 17 juin 2019 à 14:15, par Hébu

    Sur les côtés non parallèles $DA$ et $BC$ d’un trapèze on trace les cercles dont ces côtés sont les diamètres. Les diagonales $AC$ et $BD$ se coupent au point $H$.

    Les tangentes menées depuis $H$ sur les cercles ont même longueur ($HJ=HK$).

    .
    Les diagonales coupent les cercles en $Q, R$, et $T, S$, de sorte que $\widehat{DQA}=\widehat{DTA}=90$°, $\widehat{CRB}=\widehat{CSB}=90$°.

    Et donc $\widehat{DQC}=\widehat{DSC}=90$°, c’est à dire que $D, Q, S, C$ sont cocycliques.
    Il en est de même des points $A, T, R, B$ (même argument).

    Sur ces cercles, $\widehat{QSD}=\widehat{ACD}=\widehat{CAB}$ ; $\widehat{SQC}=\widehat{SDC}=\widehat{DBA}$ : les triangles HSQ et HAB sont semblables, $HS/HA=HQ/HB$, soit $HS*HB=HQ*HA$

    .
    Cela signifie que $H$ est sur l’axe radical des cercles de diamètre $AD$ et $BC$. La puissance de $H$ s’écrit $HA*HQ=HJ^2=HK^2$

    .
    (d’autres propriétés, QS et TR parallèles)

    Document joint : idm5-2-3.jpg
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