Figure sans paroles #5.2.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.2.4

    le 24 juin à 18:04, par Hébu

    Sur les côtés non parallèles $DA$ et $BC$ d’un trapèze on trace les cercles dont ces côtés sont les diamètres. Le trapèze est tel que les cercles sont sécants, points $J$ et $K$. Les diagonales $AC$ et $BD$ se coupent au point $H$.

    Les points $J, K$ et $H$ sont alignés.

    .
    En fait, il s’agit d’une variation sur le précédent. La figure 5.2.2 montre que $H$ est sur l’axe radical des deux cercles. Et on sait que cet axe radical passe par les points de sécance des cercles, lorsqu’ils existent : $JK$ est donc l’axe radical — et $H$ s’y trouve.

    .
    Alors la preuve donnée pour 5.2.2 supposait les cercles extérieurs. Faut-il la mettre à jour ? Certains angles se sont métamorphosés. Cependant $\widehat{HSQ}$ et $\widehat{HAB}$ restent égaux.

    Ceci parce que $D, S, Q, C$ restent cocycliques (mêmes raisons, angles droits, etc) ; dans ce cercle, on a maintenant $\widehat{QSD}+\widehat{QCD}=180$, soit $\widehat{HSQ}=\widehat{QCD}=\widehat{HAB}$. Les triangles $HSQ$ et $HAB$ sont semblables, d’où $HA\times HQ= HB\times HS$.

    .

    Je me demande si on ne retombe pas, une fois encore, sur le problème du 5.1.10, pour lequel Sidonie suggérait de faire usage des << angles orientés >>

    .

    Document joint : idm5-2-4.jpg
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