Figure sans paroles #5.2.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 5.2.5

    le 1ro de julio de 2019 à 18:41, par Sidonie

    ABCD est un trapèze isocèle , O est le centre du cercle circonscrit, E et F sont les milieux des 2 bases . Les deux cercles de centres E et F le premier passant par A, l’autre par D sont sécants en G et H. (EF) coupe (GH) en I .Le problème se ramène à montrer que OF=EI.

    Je n’ai trouvé qu’une méthode calculatoire où le th de Pythagore se taille la part du lion. Pour simplifier je note r et R les rayons des cercles en E et F, et h = EF la hauteur du trapèze.

    AOE et DOF sont deux triangles rectangles avec AO = DO donc OF² + R² = OE² + r²
    d’où OE² - OF² =R² - r² or OE² - OF² = h(h - 2OF)

    Les triangles rectangles GIF et GIE donnent R² - iF² = r² - IE²
    d’où IF² - IE² = R² - r² or IF² - IE² = h(h - 2IE)
    On en tire h(h - 2OF) = h(h - 2IE) et donc OF = IE

    Document joint : fsp_5.2.5.jpg
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    • 5.2.5

      le 2 de julio de 2019 à 12:30, par Hébu

      Joli calcul, élégant et bref. Peut-être pourrait-on trouver une méthode sans équation, mais elle serait sûrement plus laborieuse, donc ne boudons pas notre plaisir !

      .

      Cette fois, le trapèze est isocèle. Il admet donc un cercle circonscrit. Situation à comparer aux figures précédentes, avec un cercle inscrit.

      Quand les sommes des côtés opposés sont égales, le cercle est inscrit. Si les sommes des angles opposés sont égales, le cercle est circonscrit !

      Répondre à ce message

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