Figure sans paroles #5.2.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.2.5

    le 1er juillet 2019 à 18:41, par Sidonie

    ABCD est un trapèze isocèle , O est le centre du cercle circonscrit, E et F sont les milieux des 2 bases . Les deux cercles de centres E et F le premier passant par A, l’autre par D sont sécants en G et H. (EF) coupe (GH) en I .Le problème se ramène à montrer que OF=EI.

    Je n’ai trouvé qu’une méthode calculatoire où le th de Pythagore se taille la part du lion. Pour simplifier je note r et R les rayons des cercles en E et F, et h = EF la hauteur du trapèze.

    AOE et DOF sont deux triangles rectangles avec AO = DO donc OF² + R² = OE² + r²
    d’où OE² - OF² =R² - r² or OE² - OF² = h(h - 2OF)

    Les triangles rectangles GIF et GIE donnent R² - iF² = r² - IE²
    d’où IF² - IE² = R² - r² or IF² - IE² = h(h - 2IE)
    On en tire h(h - 2OF) = h(h - 2IE) et donc OF = IE

    Document joint : fsp_5.2.5.jpg
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