Figure sans paroles #5.2.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.2.7

    le 15 juillet à 12:27, par Hébu

    Un trapèze ABCD, sur les diagonales AC et BD je place deux points N et M, tels que les angles BND et CMA soient égaux.

    Alors, les points B,C,N,M sont cocycliques.

    .
    Une idée, prendre le problème à l’envers : placer le point sur le cercle et montrer que c’est le bon.

    Je trace le cercle passant par B, C et N. Il coupe BD en M’.

    .
    Les triangles HCB et HM’N semblables. Comme HCB et HAD sont semblables, alors HM’N et HAD semblables, HM’/HA=HN/HD, HN*HA=HM’*HD, ce qui implique que A, N, M’, D soient sur un même cercle (le produit étant la puissance de H par rapport au cercle)

    .
    Donc les angles AND et AM’D sont égaux, soit CND=BM’A.
    On en tire BND=BNC+CND=BM’C+BM’A

    .
    Finalement BND=CM’A. Les points M et M’ sont sur BD, et tels que CMA=CM’A, ils sont confondus

    Document joint : idm-5-2-7.jpg
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    • 5.2.7

      le 16 juillet à 10:36, par Sidonie

      Bonjour, encore une fois je suis passée à côté de la puissance d’un point par rapport à un cercle et pourtant vous avez utilisé cet argument récemment. Naturellement, vous avez senti la faiblesse de votre dernière ligne et je vous propose de réfléchir sur la figure que je propose en vous suggérant de modifier vos hypothèses pour empêcher un mauvais esprit comme le mien de divaguer.

      Document joint : fsp_5.2.7_mauvaise_foi.jpg
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  • 5.2.7

    le 16 juillet à 14:51, par Hébu

    Cent fois sur le métier...

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  • 5.2.7

    le 16 juillet à 14:51, par Hébu

    Cent fois sur le métier...

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    • 5.2.7

      le 16 juillet à 16:29, par Sidonie

      C’est encore une fois les angles orientés qui permettent de sortir du petit souci.

      Soit $\widehat {BAC} = \alpha$ alors l’angle orienté entre les vecteurs $\vec {AB}$ et $\vec {AC}$ est $\alpha$ si on tourne positivement de B vers C autour de A et -$\alpha$ si on tourne dans l’autre sens. Naturellement cette mesure est à 2$\pi$ près.

      Le théorème de l’angle inscrit devient : quelques soient les points A,B,C et D sont cocycliques si et seulement si ($\vec{AC}, \vec{AD}$) = ($\vec{BC}, \vec{BD}$) sans aucune précaution nécessaire sur la position des points entre eux.

      Votre démonstration devient parfaitement satisfaisante en changeant votre hypothèse $\widehat {BND} = \widehat {CMA}$ en ($\vec{NB}, \vec{ND}$) = ($\vec{MC}, \vec{MA}$) . Ma mauvaise foi ne pourra plus apparaître.

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  • 5.2.7

    le 16 juillet à 16:07, par Hébu

    Si je comprends bien la remarque, une fois établie l’égalité des angles AM’C et BND, la conclusion « et donc M et M’ sont confondus » est ... légère ?

    .
    Effectivement, c’est sûrement rapide. En fait, une preuve solide aurait procédé autrement, en montrant directement que CMA=BND entrainait, par exemple BNC=BMC.

    .
    Ceci étant, je ne sais pas trop comment corriger. La mise en oeuvre d’angles orientés pourrait-elle faire avancer ? Mais je suis un peu démuni,là.

    Autre idée, tirer parti de la similitude des triangles CM’A et BND. Mais j’ai peur de tomber dans le même travers

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    • 5.2.7

      le 16 juillet à 16:48, par Sidonie

      Apparemment nos messages se sont croisés. J’ai essayé l’emploi des \machinchose mais je reste fort lente avec même si j’en ai enfin compris le fonctionnement.

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  • 5.2.7

    le 16 juillet à 18:50, par Hébu

    Les messages ne voyagent pas toujours comme on le croirait ! Pour les \machinchose, c’est laborieux si on n’utilise pas un logiciel adhoc (j’utilise winedt, mais il y en a d’autres).

    .
    Pour la « mauvaise foi », je n’oserais pas penser ça ! Je me contenterai de « rigueur mathématique attentive à toute faiblesse dans le raisonnement » ! Les angles orientés me font un peu peur — comme les vecteurs, dont ils sont issus. J’ai toujours l’impression qu’on me sort un lapin d’un chapeau.

    .
    Mais je conçois qu’il s’agit là d’une lacune dans mes connaissances. J’essaie de me documenter et de comprendre. Il y a du travail...

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  • 5.2.7 - ce qui me préoccupe

    le 17 juillet à 14:53, par Hébu

    Puisque les points $A, B, C, D$ sont cocyclique, on écrira $(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC})$. Mais $(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC})=(\overrightarrow{DF},\overrightarrow{DE})$.

    Je comprends que ces « angles » notent les positions relatives des deux droites — donc pas de problème.
    Mais dans le triangle $DEF$, ça coince ! Et puis, à cause des angles droits, la géométrie traditionnelle affirme que $\widehat{ABC}=\widehat{CDE}$ — soit $(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC})$.

    Comment éviter alors d’écrire $(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC})=(\overrightarrow{DF},\overrightarrow{DE})$ , soit
    $\widehat{CDE}=\widehat{FED}$ ?

    En clair, je ne maîtrise pas du tout. J’essaie de lire et relire Michèle Audin, sans succès

    Document joint : incomprehension.ggb
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    • 5.2.7 - ce qui me préoccupe

      le 19 juillet à 10:07, par Sidonie

      Je dois vous présenter mes excuses. Si la description des angles de vecteurs est correcte, l’usage que j’en fait pour les angles inscrits est fausse. Il faut utiliser les angles orientés de droites qui sont définis à $\pi$ près. Si d et d’ sont 2 droites elles définissent deux angles $\alpha$ et $\pi$ - $\alpha$. L’angle orienté (d,d’) sera l’une de ces 2 valeurs suivant le sens de la rotation de d vers d’. L’angle orienté (d’,d) prendra l’autre valeur.

      Le théorème de l’angle inscrit devient : A,B,C et D sont cocycliques si et seulement si les angles orientés de droites (BA,BC) et (DA,DC) sont égaux.

      Dans votre message vous commettez une petite erreur en écrivant ($\vec{DA},\vec{DC}$) =($\vec{DF},\vec{DE}$). Pour respecter le sens ($\vec{DA},\vec{DC}$) =($\vec{DE},\vec{DF}$) ceci restant vrai pour les angles de droite.

      Voici ce que devient votre figure avec les angles de droites : (BA,BC)=(DA,DC)=(DE,DF)

      (BA,BC) = $\widehat {ABC}$ (de A vers C on tourne dans le sens positif)
      (DA,DC) = $\pi-\widehat {ADC}$ (de A vers C on tourne dans le sens négatif)
      (DE,DF) = $\pi-\widehat {EDF}$ (de E vers F on tourne dans le sens négatif)

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