Figure sans paroles #5.2.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.2.7

    le 15 juillet 2019 à 12:27, par Hébu

    Un trapèze ABCD, sur les diagonales AC et BD je place deux points N et M, tels que les angles BND et CMA soient égaux.

    Alors, les points B,C,N,M sont cocycliques.

    .
    Une idée, prendre le problème à l’envers : placer le point sur le cercle et montrer que c’est le bon.

    Je trace le cercle passant par B, C et N. Il coupe BD en M’.

    .
    Les triangles HCB et HM’N semblables. Comme HCB et HAD sont semblables, alors HM’N et HAD semblables, HM’/HA=HN/HD, HN*HA=HM’*HD, ce qui implique que A, N, M’, D soient sur un même cercle (le produit étant la puissance de H par rapport au cercle)

    .
    Donc les angles AND et AM’D sont égaux, soit CND=BM’A.
    On en tire BND=BNC+CND=BM’C+BM’A

    .
    Finalement BND=CM’A. Les points M et M’ sont sur BD, et tels que CMA=CM’A, ils sont confondus

    Document joint : idm-5-2-7.jpg
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