Figure sans paroles #5.3.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.3.2

    le 19 août 2019 à 17:25, par Sidonie

    ABCD est un carré de centre O . E, F et G sont les milieux de [AB], [BC] et [CD]. H et I sont des points[BC] et [CD] tels que (EH)//(AI). Il faut démontrer que (HI) est tangente au cercle (C)inscrit dans le carré.

    Je n’ai pour l’instant aucune méthode purement géométrique (et peut être jamais).

    Je pose AB=1 (pour simplifier les calculs) BH=$x$ DI=$y$. Le but est de prouver HI=FH+GI.
    Grace à la similitude des triangles ADI et HBE on trouve aisément $2xy=1$.
    On a FH = $x-\frac1 2$ et GI = $y-\frac1 2$ et donc FH+GI = $x + y - 1$
    (FH+GI)² = $(x1)^2 = x^2+2xy +y^22(x+y) = 2-2(x+y)+x^2+y^2)$ puisque $2xy=1$
    HI² = HC² + CI² =$(1-x)^2+(1-y)^2 = 2-2(x+y)+x^2+y^2$ = (FH+GI)²

    Je trace les cercles (C’) et (C’’) de centres H et I et passant par F et G. Ce qui précède montre qu’il sont tangents en J point de (HI). Les tangentes issues de O , OF et OG sont égales donc A est sur l’axe radical de (C’) et (C’’) c’est à dire leur tangente commune. Donc OJ= OF et J appartient à (C) et (HI) perpendiculaire au rayon (OJ) est donc une tangente.

    Document joint : fsp_5.3.2.jpg
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