Figure sans paroles #5.3.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.3.2

    le 23 août 2019 à 14:36, par Hébu

    Ces figures sont étonnantes, source inépuisable d’émerveillement.

    Je reconstruis partiellement (j’ai essayé de garder les mêmes noms pour les points).
    .

    Un carré $ABCD$. Depuis $A$, une droite coupe $CD$ en un point $I$. Depuis $E$, milieu de $AB$, une parallèle à $AI$, vient couper $BC$ en un point $H$.

    La droite $(HI)$ coupe $AB$ en $M$ et $AD$ en $N$.

    .
    C’est le couple $(M, N)$ qui apporte des propriétés curieuses.
    .

    Les triangles $CHI$, $DNI$, $BHM$ et $ANM$ sont semblables.

    On remarque que $MD$ et $HG$ sont parallèles — les triangles $AMD$ et $CGH$ sont semblables. Même chose pour $NB$, parallèle à $IF$ ($ANB$ et $CFI$ semblables).

    Comment le prouver ? Le moyen simple consiste à calculer, via les similitudes, les rapports $AM/AD$ et $CG/CH$. On trouve, par exemple, $CH=\frac{a^2}{2*AM}$, soit $CG/CH=AM/a$. De même $CI=\frac{a^2}{2*AN}$. Preuve lourde et peu « géométrique ».

    .
    Ces relations peuvent se ré-écrire $CI*AN=CH*AM=a^2/2$. Elles montrent, par exemple, que la produit des aires des triangles $CHI$ et $AMN$ est constant (il vaut $a^4/16$) !

    .
    Remarque : réintroduisant $x=BH$ et $y=DI$, avec $2xy=a^2$, on calcule $AN=\frac{a^2}{2(a-y}$, $AM=\frac{a^2}{2(1-x)}$

    .
    Le parallélisme est une propriété étonnante. On pourrait s’en servir pour construire la figure : Je place $I$, je trace $IF$ puis depuis $B$ une parallèle à $IF$, elle coupe $AD$ au point $N$ ; $NI$ coupe $BC$ en $H$. Présenté de la sorte, il faudra montrer que $HE$ et $AI$ sont parallèles !

    .
    Autre curiosité : $MD$ et $AI$ se coupent sur $EG$ en un point $R$, et $HR$ est parallèle à $AB$.

    Et encore sûrement d’autres...

    Document joint : idm5-3-2-2.jpg
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