Figure sans paroles #5.4.11

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.4.11

    le 11 novembre à 21:09, par Hébu

    Le quadrilatère $ABCD$ est, à la fois, circonscriptible et inscriptible (QC et QI).

    .
    On sait, depuis la figure 5.4.8, et grâce à une judicieuse remarque de Sidonie, que les cercles inscrits dans les triangles $ADC$ et $ABC$ (de centres $G$ et $H$) sont tangents, de sorte que $GH$ et $AC$ sont perpendiculaires (et c’est même, selon la remarque susdite, une cns pour que $ABCD$ soit QC).

    La propriété nouvelle, ici est que $D, G, H, B$ sont cocycliques.

    .
    On le voit en remarquant que la somme des angles $\widehat{DGH}$ et $\widehat{DBH}$ vaut 180 degrés.

    On a en effet :

    Dans le quadrilatère $DGJC$, où $\widehat{GJC}=\pi/2$, $\widehat{DGJ}=2\pi-\pi/2-D/2-\widehat{DCA}$

    Quant à $\widehat{HBD}$, on a $\widehat{HBD}=\widehat{HBC}-\widehat{DBC}=\widehat{B}/2-\widehat{DBC}$. Mais puisque le quadrilatère est inscriptible, $\widehat{DBC}=\widehat{DAC}$. Et $\widehat{DAC}=\pi-\widehat{D}-\widehat{DCA}$

    Rassemblant, $S=\widehat{DGH}+\widehat{HBD}=2\pi-\pi/2-\widehat{D}/2-\widehat{DCA}+\widehat{D}/2-\widehat{DBC}$

    Soit $S=2\pi-\pi/2-\widehat{D}/2-\widehat{DCA}+\widehat{D}/2-(\pi-\widehat{D}-\widehat{DCA})$

    Tous calculs faits, reste $S=\pi/2+\widehat{D}/2+\widehat{B}/2=\pi$, puisque encore une fois le quadrilatère est inscriptible.

    .
    Reste à régler une petite question, comment construire, sans tricher, un quadrilatère à la fois QC et QI. Et puis peut être proposer une preuve qui fasse un peu moins comptable du grand magasin

    Document joint : idm5-4-11.jpg
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