Figure sans paroles #5.4.11

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.4.11

    le 13 novembre à 00:22, par Sidonie

    Une solution qui ne doit rien à l’hyperbole mais qui devrait vous contenter.

    J’ai un peu modifié la construction : On place A et C, un point E sur [AC], l’hyperbole de foyers A et C passant par E, la médiatrice de [AC], un point O sur cette médiatrice, le cercle de centre O passant A et C coupe une branche de l’hyperbole en B et D et la médiatrice en G et H. On n’a plus guère besoin des tangentes. La tangente en E devient la perpendiculaire en E à (AC), les arcs AG et GC d’une part et AH et HC d’autre part sont égaux donc (BH) et (DG) sont les bissectrices en B et D . On obtient ainsi I, J et K.

    Les triangles IJK et IHG sont semblables donc IJ / IK = IH / IG ce qui devient IJ . IG = IH . IK (1)

    La puissance de I par rapport au cercle donne IB . IH = ID . IG (2)

    En multipliant membre à membre (1) et (2) puis en simplifiant par IG . IH il vient IB . IJ = ID . IK ce qui prouve que B,J,D et K sont cocycliques.

    Document joint : fsp_5.4.11.jpg
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