Figure sans paroles #5.4.13

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.4.13

    le 14 décembre 2019 à 23:24, par Sidonie

    ABCD un quadrilatère circonscriptible. O est le centre du cercle inscrit. E,F,G et H sont les points de contacts du cercle avec les côtés. La diagonale (BD) coupe le cercle en M et N dont le milieu est L . Il s’agit de démontrer que (LB) est la bissectrice de $\widehat {ALC}$.

    Les droites (EF) et (GH) se coupent en I , (EH) et (FG) se coupent en J, (EG) et (FH) en K.

    Vu du point I, B et D sont les points d’intersections des tangentes aux points d’intersection de deux sécantes au cercle passant par I . (BD) est donc la polaire de I par rapport au cercle. La même démonstration côté J montre un résultat remarquable : I est un point de (AC), J un point de (BD) et K est l’intersection entre les deux diagonales.

    Les 4 droites issues de B passant par A,D,C et I forment un faisceau harmonique donc K et I divisent harmoniquement A et C.

    (OI) est perpendiculaire à la polaire (BD) et donc à la corde [MN] qu’elle coupe en son milieu L . L est un alors un point du cercle de diamètre [KI]. Or on a vu dans une fsp précédente que si K et I divisent harmoniquement A et C alors pour tout point L du cercle de diamètre [KI] (LK) et (LI) sont les bissectrices de $\widehat {ALC}$.

    Document joint : fsp_5.4.13.jpg
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    • 5.4.13

      le 19 décembre 2019 à 15:54, par Hébu

      Voilà une nouvelle recrue dans notre bestiaire géométrique ! Qui me permet de contempler l’étendue de mes ignorances... Il faut que je regarde cela.

      Mais, entre autres, cela montre aussi que EG et FH sont concourants avec AC et BD, propriété qui semble propre aux QC

      Répondre à ce message

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