Figure sans paroles #5.4.14

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.4.14

    le 3 décembre 2019 à 10:41, par Sidonie

    ABCD est un quadrilatère circonscriptible. I est centre du cercle inscrit. E et F les les intersections de (BI) (resp (DI)) avec les perpendiculaires en A à (AB) (resp (AD)).

    Il s’agit de démontrer que (AC) et (EF) sont perpendiculaires.

    J’utilise l’hyperbole de foyers A et C qui passe par B et D. (BI) et (DI) sont les tangentes en B et et D à cette hyperbole. Je note (d) la directrice associée au foyer A et grâce à une démonstration trouvée sur internet (ici) (valabe pour toutes les coniques) que je m’approprie sans vergogne, je démontre que (EF) =(d).

    Pour l’instant E n’est que l’intersection entre (BI) et (d) et on démontre que (AE) et (AB) sont perpendiculaires.

    Sur l’hyperbole on prend un point P proche de B. (EP) recoupe l’hyperbole en P’. H et H’ sont les projetés orthogonaux de P et P’ sur (d). On a PH/PA =P’H’/P’A = e (excentricité de l’hyperbole) et donc PA/PA’ = PH/PH’ or (merci Thalès) PH/PH’ = EP/EP’ ce qui fait de (EA) une
    bissectrice extérieure du triangle APP’. Soit E’ le pied de la bissectrice intérieure. E’ est entre P et P’ et (AE’) est perpendiculaire à (AE) . Lorsque P se rapproche de B il en est de même pour P’ et E’ et à la limite les 4 points se confondent en B et donc (AB) est perpendiculaire à (AE).

    Document joint : fsp_5.4.14.jpg
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