Figure sans paroles #5.4.14

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.4.14

    le 13 décembre 2019 à 17:16, par Hébu

    Alors, je viens de trouver, en furetant sur le web, une autre preuve que je trouve extraordinaire. J’insiste, je n’y suis pour rien, je n’en suis pas l’auteur — mais elle est trop belle pour que je résiste...

    .
    Je l’ai trouvée sous la plume d’un nommé Darij Grinberg,
    http://www.cip.ifi.lmu.de/ grinberg/geometry2.html

    Je reprends la figure de Sidonie en l’adaptant.

    .
    Le point $F$ est sur $DI$, bissectrice de $\widehat{ADC}$. Il est équidistant des côtés.
    Si $G$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $CD$, $FA=FG$, $DA=DG$. Le cercle de centre $F$ de rayon $AF$ est tangent à la droite $(CD)$ au point $G$. On a $CG=DG-DC=AD-DC$.

    Même chose avec le point $E$, qui est sur la bissectrice de l’angle en $B$ ; on note $H$ le projeté de $E$ sur $BC$, $EH=EA$, $BH=AB$ ; le cercle de centre $E$, rayon $EA$, tangente $(BC)$ en $H$, et $CH=BH-BC=BA-BC$.

    Donc $CG-CH=AD-CD-AB+BC=0$, puisque notre quadrilatère est QC !

    Et donc $CH^2=CG^2$ : le point $C$ a mêmes puissances par rapport aux deux cercles, ce qui signifie que $AC$ est l’axe radical de ces deux cercles.

    Axe radical qui est perpendiculaire à $EF$, la ligne des centres.

    .
    Une utilisation impressionnante de l’axe radical

    Document joint : idm5-4-14-2.jpg
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