Figure sans paroles #5.4.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.4.5

    le 1er octobre à 10:35, par Sidonie

    Bonjour

    Une variation dans le cas d’un quadrilatère quelconque.

    Dans le quadrilatère ABCD on place E,F,G et H sur les bissectrices intérieures issues de A,B,C et D. Ensuite on trace les symétriques des droites (AB), (BC), (CD) et (DA) par rapport à (EF), (FG), (GH) et (HE). Elles forme le quadrilatère IJKL.

    Le but de la démonstration est AB + CD -AD - BC = IJ + KL -IL - JK autrement dit que ABCD et IJKL ont la même différence entre les sommes des côtés opposés avec pour conséquence que si ABCD est circonscriptible alors IJKL l’est aussi.

    Je note M et N les symétriques de I par rapport à (EF) et (EK) et P le symétrique de J par rapport à (EF)

    On a tout de suite MN = IJ

    On a aussi EM = EI =EN et donc un cercle de centre E qui passe par M, N .
    (AE) est un diamètre du cercle donc le symétrique de M par rapport à (AE) appartient aussi au cercle.
    (AE) est la bissectrice issue de A et M appartient à [AB) donc son symétrique par rapport à (AE) appartient à [AD) c’est donc N et AM = AN.

    Il suffit de refaire la construction aux 4 coins et une ribambelle démontre le résultat escompté.

    Maintenant le rapport avec la figure initiale. E,F,G et H sont les centres des petits cercles ils sont bien sur les bissectrices . Les tangentes communes à deux cercles sont symétriques par rapport à la droite des centres. Et comme dit précédemment si ABCD est circonscriptible alors IJKL l’est aussi.

    Document joint : fsp_5.4.5_generalise.jpg
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